1. Определения и обозначения
Дифференциальное уравнение, порядок уравнения, линейное дифференциальное уравнение, дифференциальный оператор, область.
2. Классификация линейных уравнений в частных
производных второго порядка
Эллиптическое уравнение, уравнение Пуассона, гиперболическое уравнение, волновое уравнение, ультрагиперболическое уравнение, параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, канонический вид.
3. Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных
4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных)
Первая смешанная задача.
5. Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных)
Пространство L2(Q), обобщенная производная, теоремы.
6. Пространство Соболева
Пространство Hk(Q), теоремы, свойства пространства Соболева.
7. Разбиение единицы
Теорема о разбиении единицы, теорема о продолжении функции, свойства оператора продолжения.
8. Сепарабельность пространств Соболева
Определение, теоремы, равенство Парсеваля.
9. След функции Hk(Q)
10. Формула интегрирования по частям
Теорема Реллиха-Гординга, обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
11. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
Теорема Фредгольма, разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
Обобщенные и классические решения, задача Неймана для уравнения Пуассона, метод Ритца.
12. Изучение классических решений эллиптических задач
Формула Грина, интегральное представление производной,
первая теорема о среднем, вторая теорема о среднем, принцип максимума, анизотропные пространства Соболева, формула Кирхгофа, метод спуска, теорема Гильберта-Шмидта.