Учебное пособие. — СПб: "COЛO", 2007. — 246 с.
ISBN: 979-5-983-40069-5. В настоящем пособии излагаются основные понятия, методы и алгоритмы классической высшей алгебры как науки о решении уравнений и систем уравнений. Помимо изложения теории и примеров, книга включает в себя упражнения, а также некоторые справки из истории математики (в т.ч. некоторые упраженения). В некоторых примерах авторами намеренно оставлены пропуски в математических выражениях, чтобы читатель смог заполнить их.
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика. Пособие имеет следующую структуру:
Обозначения и условные знаки.
Основная задача алгебры.
Вспомогательные результаты.
Метод математической индукции.
Элементы комбинаторики.
— Перестановки.
— Сочетания.
Начала теории целых чисел.
Бином Ньютона.
— Треугольник Паскаля.
Наибольший общий делитель.
— Алгоритм Евклида.
Делимость чисел.
— Взаимно простые числа.
— Простые числа.
— Каноническое разложение числа.
— Признаки делимости.
— Факторизация.
Функция Эйлера.
Сравнения.
— Основные понятия.
— Алгоритм «квадрирования—умножения» для вычисления A^B (mod М).
— Классы вычетов.
— Теоремы Ферма и Эйлера.
Решение линейных сравнений с одним неизвестным.
— Алгоритм нахождения числа, обратного A относительно умножения по модулю M.
Комплексные числа.
Определение.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
— Тригонометрическая форма. Формула Муавра.
— Неравенства для модуля.
— Выведение тригонометрических формул.
Извлечение корня из комплексного числа.
— Квадратный корень.
— Общий случай.
— Корни из единицы.
Полиномы и рациональные функции.
Определения.
Основная теорема высшей алгебры. Формулы Виета.
Решение уравнений в радикалах.
— Решение уравнения третьей степени.
— Решение уравнения четвертой.
— Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами.
— Уравнения высших степеней.
Делимость полиномов.
— Наибольший общий делитель.
— Взаимно простые полиномы.
Формула Тейлора.
Выделение кратных корней.
— Установление кратности корня.
— Решение уравнений, имеющих кратные корни.
Корни полинома с вещественными коэффициентами.
— Приводимость.
— Границы расположения корней.
— Геометрия корней.
— Правило знаков Декарта.
Приводимость полиномов в Q.
Численные методы нахождения корней полинома.
— Метод Руффини—Хорнера.
— Метод Лагранжа (непрерывных дробей).
— Метод Ньютона (касательных) и геометрический смысл.
— Комментарии к методу Ньютона, фракталы.
Рациональные дроби.
— Определения.
— Разложение дроби на простейшие над A.
— Разложение дроби на простейшие над C.
— Разложение дроби на простейшие над R.
Полиномы от нескольких переменных.
— Основные определения.
— Способы представления полинома.
— Алгебраические уравнения.
Подсказки и ответы к упражнениям.
Литература.
Предметный указатель.
ISBN: 979-5-983-40069-5. В настоящем пособии излагаются основные понятия, методы и алгоритмы классической высшей алгебры как науки о решении уравнений и систем уравнений. Помимо изложения теории и примеров, книга включает в себя упражнения, а также некоторые справки из истории математики (в т.ч. некоторые упраженения). В некоторых примерах авторами намеренно оставлены пропуски в математических выражениях, чтобы читатель смог заполнить их.
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика. Пособие имеет следующую структуру:
Обозначения и условные знаки.
Основная задача алгебры.
Вспомогательные результаты.
Метод математической индукции.
Элементы комбинаторики.
— Перестановки.
— Сочетания.
Начала теории целых чисел.
Бином Ньютона.
— Треугольник Паскаля.
Наибольший общий делитель.
— Алгоритм Евклида.
Делимость чисел.
— Взаимно простые числа.
— Простые числа.
— Каноническое разложение числа.
— Признаки делимости.
— Факторизация.
Функция Эйлера.
Сравнения.
— Основные понятия.
— Алгоритм «квадрирования—умножения» для вычисления A^B (mod М).
— Классы вычетов.
— Теоремы Ферма и Эйлера.
Решение линейных сравнений с одним неизвестным.
— Алгоритм нахождения числа, обратного A относительно умножения по модулю M.
Комплексные числа.
Определение.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
— Тригонометрическая форма. Формула Муавра.
— Неравенства для модуля.
— Выведение тригонометрических формул.
Извлечение корня из комплексного числа.
— Квадратный корень.
— Общий случай.
— Корни из единицы.
Полиномы и рациональные функции.
Определения.
Основная теорема высшей алгебры. Формулы Виета.
Решение уравнений в радикалах.
— Решение уравнения третьей степени.
— Решение уравнения четвертой.
— Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами.
— Уравнения высших степеней.
Делимость полиномов.
— Наибольший общий делитель.
— Взаимно простые полиномы.
Формула Тейлора.
Выделение кратных корней.
— Установление кратности корня.
— Решение уравнений, имеющих кратные корни.
Корни полинома с вещественными коэффициентами.
— Приводимость.
— Границы расположения корней.
— Геометрия корней.
— Правило знаков Декарта.
Приводимость полиномов в Q.
Численные методы нахождения корней полинома.
— Метод Руффини—Хорнера.
— Метод Лагранжа (непрерывных дробей).
— Метод Ньютона (касательных) и геометрический смысл.
— Комментарии к методу Ньютона, фракталы.
Рациональные дроби.
— Определения.
— Разложение дроби на простейшие над A.
— Разложение дроби на простейшие над C.
— Разложение дроби на простейшие над R.
Полиномы от нескольких переменных.
— Основные определения.
— Способы представления полинома.
— Алгебраические уравнения.
Подсказки и ответы к упражнениям.
Литература.
Предметный указатель.