Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с. ISBN
5—211—02073—1
В книге рассматриваются основные методы исследования краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Отличительной особенностью учебного пособия является непосредственная связь между физической сущностью изучаемых явлений и математическими методами их исследования. В пособии содержится математический аппарат, знание которого необходимо студентам-физикам для дальнейшей работы в области экспериментальной и теоретической физики. Одна из глав посвящена изложению теории специальных функций - важнейшему аналитическому аппарату исследования краевых задач математической физики.
Основные уравнения математической физики и постановка начально-краевых задач
  • Физические задачи, связанные с волновыми процессами
    Малые продольные колебания упругого стержня
    Малые поперечные колебания упругой струны
    Случай многих пространственных переменных
  • Процессы тепломассопереноса
  • Стационарные процессы
    Стационарное распределение тепла
    Задачи электростатики
    Установившиеся колебания
    Установившиеся электромагнитные колебания
    Постановка краевых задач
  • Общие замечания
Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
  • Классификация уравнений с двумя независимыми переменными
  • Приведение уравнения с двумя независимыми переменными к каноническому виду
  • Классификация уравнений в случае многих независимых переменных
Метод разделения переменных Разложение по собственным
функциям задачи Штурма—Лиувилля
  • Постановка начально-краевых задач
  • Первая и вторая формулы Грина
  • Полные и замкнутые системы функций
  • Общая схема метода разделения переменных для однородного уравнения
  • Метод разделения переменных для неоднородного уравнения
  • Неоднородные граничные условия
  • Разложение по собственным функциям для эллиптического уравнения
  • Простейшие задачи Штурма—Лиувилля
Специальные функции
  • Уравнение специальных функций и свойства его решений
  • Цилиндрические функции
    Уравнение Бесселя
    Свойства гамма-функции
    Степенной ряд для функций Бесселя
    Рекуррентные формулы
    Функции Бесселя полуцелого порядка
    Интегральное представление функций Бесселя
    Функции Ханкеля Интегральное представление
    Связь функций Ханкеля и Бесселя Функция Неймана
    Линейная независимость цилиндрических функций
    Асимптотика цилиндрических функций
    Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента Функции Инфельда и Макдональда
  • Классические ортогональные полиномы
    Определение классических ортогональных полиномов
    Основные свойства классических ортогональных полиномов
    Производящая функция классических ортогональных полиномов
    Полиномы Якоби
    Полиномы Лежандра
    Полиномы Лагерра
    Полиномы Эрмита
  • Присоединенные функции Лежандра
    Основные понятия
    Краевая задача для присоединенных функций Лежандра
    Полнота и замкнутость системы присоединенных функций Лежандра
  • Сферические функции
  • Шаровые функции
  • Собственные функции оператора Лапласа для канонических областей
    Собственные функции круга
    Собственные функции цилиндра
    Собственные функции шара
Уравнения эллиптического типа Краевые задачи для уравнения Лапласа
  • Общие свойства гармонических функций
    Формулы Грина
    Основные свойства гармонических функций
  • Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа
    Внутренняя задача Дирихле
    Внутренние вторая и третья краевые задачи
  • Внешние краевые задачи
    Функции, регулярные на бесконечности
    Единственность решения внешних задач в трехмерном случае
    Единственность решения внешних задач для уравнения Лапласа на плоскости
  • Функция Грина оператора Лапласа
    Функция Грина внутренней задачи Дирихле оператора Лапласа
    Свойства функции Грина задачи Дирихле
    Функция Грина внутренней третьей краевой задачи ]
    Функция Грина внутренней задачи Неймана
    Функции Грина внешних краевых задач
    Примеры построения функций Грина
    Функция Грина задачи Дирихле на плоскости
  • Решение краевых задач для уравнения Лапласа в круге и прямоугольнике
    Краевые задали для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце
    Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике
  • Основы теории потенциала
    Объемный потенциал
    Несобственные интегралы, зависящие от параметра
    Поверхностные потенциалы
    Непрерывность потенциала простого слоя
    Поверхности Ляпунова
    Существование и непрерывность прямых значений
потенциала двойного слоя на поверхности
    Разрыв потенциала двойного слоя
    Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя
  • Метод интегральных уравнений решения краевых задач
    Основные свойства интегральных уравнений
    Интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле
    Интегральное уравнение для внешней задачи Неймана
    Интегральное уравнение для внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле
Уравнения параболического типа
  • Постановка начально-краевой задачи
  • Принцип максимума
  • Теоремы единственности и устойчивости
  • Существование решения уравнения теплопроводности в случае ограниченной области
    Построение формального решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями
    Существование классического решения уравнения теплопроводности на отрезке
  • Функция Грина
  • Неоднородное уравнение теплопроводности и неоднородные граничные условия
    Неоднородное уравнение теплопроводности
    Неоднородное граничное условие
  • Задача Коши для уравнения теплопроводности
    Постановка задачи Коши для уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой
    Теорема единственности
    Фундаментальное решение Интеграл Пуассона
    Свойства фундаментального решения
  • Существование решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности
    Теорема существования
    Пример
  • Неоднородное уравнение теплопроводности на бесконечной прямой
  • Начальная задача для уравнения теплопроводности в пространстве
  • Решение уравнения теплопроводности на полупрямой
    Постановка начально-краевых задач
    Однородные граничные условия
    Краевой режим
    Неоднородное граничное условие второго рода
  • Формула Грина для уравнения теплопроводности
  • Уравнение нелинейной теплопроводности и горения
Уравнения гиперболического типа
  • Постановка начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области
  • Теорема единственности
  • Устойчивость решения
  • Существование решения уравнения колебаний в ограниченной области
  • Вынужденные колебания ограниченной струны
  • Формула Грина для уравнения колебаний
  • Уравнение колебаний на неограниченной прямой
    Постановка задачи с начальными условиями для неограниченной струны
    Формула Даламбера
    Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши
    Физическая интерпретация решения
    Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса
    Существование и единственность решения
  • Задачи для полуограниченной прямой
    Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода
    Распространение краевого режима
  • Колебания в неограниченном пространстве
    Сферически-симметричный случай
    Формула Кирхгофа
    Формула Пуассона
    Метод спуска
    Локальные начальные условия
    Установившиеся колебания
  • Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)
  • Общая задача Коши Функция Римана
  • Нелинейные уравнения
    Простейшие уравнения и метод характеристик
    Обобщенное решение Условия на разрыве
    Уравнение Кортевега—де Фриза и законы сохранения
    Схема метода обратной задачи
    Солитонные решения
Уравнения эллиптического типа Краевые задачи для уравнения Гельмгольца
  • Задача Штурма—Лиувилля для оператора Лапласа
    Приведение задачи Штурма — Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма
    Свойства собственных значений и собственных функций
    Теорема Стеклова
  • Свойства решений уравнения Гельмгольца
    Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца
    Формулы Грина
    Потенциалы уравнения Гельмгольца
    Принцип максимума для уравнения Аи—ки=
  • Внутренние задачи для уравнения Гельмгольца
    Внутренняя задача для уравнения Аи—ки=
    Вторая и третья краевые задачи для уравнения Аи—хи=
    Краевые задачи для уравнения Au + ku=
  • Функция Грина краевых задач для уравнения Гельмгольца
  • Задача для уравнения Аи—ки=—f в неограниченной области
  • Задача для уравнения Au + ku=—f в неограниченной области
    Условия излучения
    Принцип предельного поглощения
Кросс-аттачмент с http://gen.lib.rus.ec
В книге рассматриваются основные методы исследования краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Отличительной особенностью учебного пособия является непосредственная связь между физической сущностью изучаемых явлений и математическими методами их исследования. В пособии содержится математический аппарат, знание которого необходимо студентам-физикам для дальнейшей работы в области экспериментальной и теоретической физики. Одна из глав посвящена изложению теории специальных функций - важнейшему аналитическому аппарату исследования краевых задач математической физики.
Основные уравнения математической физики и постановка начально-краевых задач
  • Физические задачи, связанные с волновыми процессами
    Малые продольные колебания упругого стержня
    Малые поперечные колебания упругой струны
    Случай многих пространственных переменных
  • Процессы тепломассопереноса
  • Стационарные процессы
    Стационарное распределение тепла
    Задачи электростатики
    Установившиеся колебания
    Установившиеся электромагнитные колебания
    Постановка краевых задач
  • Общие замечания
Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
  • Классификация уравнений с двумя независимыми переменными
  • Приведение уравнения с двумя независимыми переменными к каноническому виду
  • Классификация уравнений в случае многих независимых переменных
Метод разделения переменных Разложение по собственным
функциям задачи Штурма—Лиувилля
  • Постановка начально-краевых задач
  • Первая и вторая формулы Грина
  • Полные и замкнутые системы функций
  • Общая схема метода разделения переменных для однородного уравнения
  • Метод разделения переменных для неоднородного уравнения
  • Неоднородные граничные условия
  • Разложение по собственным функциям для эллиптического уравнения
  • Простейшие задачи Штурма—Лиувилля
Специальные функции
  • Уравнение специальных функций и свойства его решений
  • Цилиндрические функции
    Уравнение Бесселя
    Свойства гамма-функции
    Степенной ряд для функций Бесселя
    Рекуррентные формулы
    Функции Бесселя полуцелого порядка
    Интегральное представление функций Бесселя
    Функции Ханкеля Интегральное представление
    Связь функций Ханкеля и Бесселя Функция Неймана
    Линейная независимость цилиндрических функций
    Асимптотика цилиндрических функций
    Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента Функции Инфельда и Макдональда
  • Классические ортогональные полиномы
    Определение классических ортогональных полиномов
    Основные свойства классических ортогональных полиномов
    Производящая функция классических ортогональных полиномов
    Полиномы Якоби
    Полиномы Лежандра
    Полиномы Лагерра
    Полиномы Эрмита
  • Присоединенные функции Лежандра
    Основные понятия
    Краевая задача для присоединенных функций Лежандра
    Полнота и замкнутость системы присоединенных функций Лежандра
  • Сферические функции
  • Шаровые функции
  • Собственные функции оператора Лапласа для канонических областей
    Собственные функции круга
    Собственные функции цилиндра
    Собственные функции шара
Уравнения эллиптического типа Краевые задачи для уравнения Лапласа
  • Общие свойства гармонических функций
    Формулы Грина
    Основные свойства гармонических функций
  • Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа
    Внутренняя задача Дирихле
    Внутренние вторая и третья краевые задачи
  • Внешние краевые задачи
    Функции, регулярные на бесконечности
    Единственность решения внешних задач в трехмерном случае
    Единственность решения внешних задач для уравнения Лапласа на плоскости
  • Функция Грина оператора Лапласа
    Функция Грина внутренней задачи Дирихле оператора Лапласа
    Свойства функции Грина задачи Дирихле
    Функция Грина внутренней третьей краевой задачи ]
    Функция Грина внутренней задачи Неймана
    Функции Грина внешних краевых задач
    Примеры построения функций Грина
    Функция Грина задачи Дирихле на плоскости
  • Решение краевых задач для уравнения Лапласа в круге и прямоугольнике
    Краевые задали для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце
    Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике
  • Основы теории потенциала
    Объемный потенциал
    Несобственные интегралы, зависящие от параметра
    Поверхностные потенциалы
    Непрерывность потенциала простого слоя
    Поверхности Ляпунова
    Существование и непрерывность прямых значений
потенциала двойного слоя на поверхности
    Разрыв потенциала двойного слоя
    Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя
  • Метод интегральных уравнений решения краевых задач
    Основные свойства интегральных уравнений
    Интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле
    Интегральное уравнение для внешней задачи Неймана
    Интегральное уравнение для внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле
Уравнения параболического типа
  • Постановка начально-краевой задачи
  • Принцип максимума
  • Теоремы единственности и устойчивости
  • Существование решения уравнения теплопроводности в случае ограниченной области
    Построение формального решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями
    Существование классического решения уравнения теплопроводности на отрезке
  • Функция Грина
  • Неоднородное уравнение теплопроводности и неоднородные граничные условия
    Неоднородное уравнение теплопроводности
    Неоднородное граничное условие
  • Задача Коши для уравнения теплопроводности
    Постановка задачи Коши для уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой
    Теорема единственности
    Фундаментальное решение Интеграл Пуассона
    Свойства фундаментального решения
  • Существование решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности
    Теорема существования
    Пример
  • Неоднородное уравнение теплопроводности на бесконечной прямой
  • Начальная задача для уравнения теплопроводности в пространстве
  • Решение уравнения теплопроводности на полупрямой
    Постановка начально-краевых задач
    Однородные граничные условия
    Краевой режим
    Неоднородное граничное условие второго рода
  • Формула Грина для уравнения теплопроводности
  • Уравнение нелинейной теплопроводности и горения
Уравнения гиперболического типа
  • Постановка начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области
  • Теорема единственности
  • Устойчивость решения
  • Существование решения уравнения колебаний в ограниченной области
  • Вынужденные колебания ограниченной струны
  • Формула Грина для уравнения колебаний
  • Уравнение колебаний на неограниченной прямой
    Постановка задачи с начальными условиями для неограниченной струны
    Формула Даламбера
    Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши
    Физическая интерпретация решения
    Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса
    Существование и единственность решения
  • Задачи для полуограниченной прямой
    Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода
    Распространение краевого режима
  • Колебания в неограниченном пространстве
    Сферически-симметричный случай
    Формула Кирхгофа
    Формула Пуассона
    Метод спуска
    Локальные начальные условия
    Установившиеся колебания
  • Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)
  • Общая задача Коши Функция Римана
  • Нелинейные уравнения
    Простейшие уравнения и метод характеристик
    Обобщенное решение Условия на разрыве
    Уравнение Кортевега—де Фриза и законы сохранения
    Схема метода обратной задачи
    Солитонные решения
Уравнения эллиптического типа Краевые задачи для уравнения Гельмгольца
  • Задача Штурма—Лиувилля для оператора Лапласа
    Приведение задачи Штурма — Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма
    Свойства собственных значений и собственных функций
    Теорема Стеклова
  • Свойства решений уравнения Гельмгольца
    Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца
    Формулы Грина
    Потенциалы уравнения Гельмгольца
    Принцип максимума для уравнения Аи—ки=
  • Внутренние задачи для уравнения Гельмгольца
    Внутренняя задача для уравнения Аи—ки=
    Вторая и третья краевые задачи для уравнения Аи—хи=
    Краевые задачи для уравнения Au + ku=
  • Функция Грина краевых задач для уравнения Гельмгольца
  • Задача для уравнения Аи—ки=—f в неограниченной области
  • Задача для уравнения Au + ku=—f в неограниченной области
    Условия излучения
    Принцип предельного поглощения
Кросс-аттачмент с http://gen.lib.rus.ec