УГАТУ, ФИРТ, 1 курс, 1 семестр, Прокудина Е. И.
Элементы векторной алгебры.
Векторы. Операции над ними. Свойства операций
Проекция вектора на ось. Ее алгебраическое значение. Свойства. Ортогональная проекция.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Арифметические свойства координат вектора.
Базис системы векторов. Координаты вектора. Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.
Базис системы векторов. Координаты вектора. Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве. w
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Ортогональный и ортонормированный базисы.
Вычисление скалярного произведения векторов через координаты в произвольном и ортонормированном базисах. Вычисление длины вектора, угла между векторами.
Задание ориентации на прямой, на плоскости и в пространстве. Векторное произведение векторов и его свойства, геометрический смысл.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Ориентированный объем параллелепипеда. Критерий компланарности 3 векторов.
Векторное и смешанное произведения векторов в координатах.
Уравнения кривых и поверхностей.
Декартова система координат. Координаты точки. Деление отрезка в данном отношении.
Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между 2 точками.
Полярная система координат. Связь полярных и прямоугольных декартовых координат.
Уравнения линий и поверхностей. Параметрические уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Примеры.
Примеры построения кривых. Вывод уравнения кривой в полярной и прямоугольной декартовой системах координат. Конхоида Никомеда. Циклоида.
Прямые и плоскости
Прямая на плоскости. Общее уравнение. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, и с заданным вектором нормали. Параметрические уравнения прямой.
Различные виды уравнений прямой на плоскости: параметрические, каноническое, в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми.
Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве.
Плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и с заданным вектором нормали. Параметрические уравнения плоскости.
Параметрические уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.
Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические, канонические уравнения. Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до прямой, между двумя прямыми в пространстве.
Линии и поверхности второго порядка.
Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты.
Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Родство эллипса, гиперболы и параболы.
Преобразование прямоугольных декартовых систем координат: параллельный перенос начала координат, поворот осей координат, общий случай. Матрица перехода от старого базиса к новому.
Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду (центральные линии).
Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду (нецентральные линии).
Классификация кривых 2-го порядка.
Эллипсоид. Каноническое уравнение. Сечения. Эллипсоиды вращения.
Гиперболоиды. Канонические уравнения. Сечения. Гиперболоиды вращения. Прямолинейные образующие.
Конус. Каноническое уравнение. Сечения.
Параболоиды. Канонические уравнения. Сечения. Параболоиды вращения. Прямолинейные образующие.
Цилиндры и их канонические уравнения.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Поверхности вращения.
Основные алгебраические структуры.
Бинарная алгебраическая операция. Определение. Примеры. Свойства (с примерами). Алгебраическая структура. Аддитивная и мультипликативная терминологии.
Полугруппа. Определение. Примеры. Обобщенная ассоциативность. Степень элемента (его кратное).
Группа. Определение. Простейшие свойства. Примеры.
Подгруппа. Определение. Примеры.
Циклические группы. Примеры.
Симметрическая группа степени n.
Изоморфизм групп. Определение. Простейшие свойства. Примеры. Изоморфизм конечных групп. Теорема Кэли.
Кольцо. Определение. Простейшие свойства. Примеры.
Сравнения. Кольцо классов вычетов. Примеры. Делители нуля.
Тело. Поле. Определения. Примеры. Простейшие свойства. Поле классов вычетов. Пример тела.
Элементы векторной алгебры.
Векторы. Операции над ними. Свойства операций
Проекция вектора на ось. Ее алгебраическое значение. Свойства. Ортогональная проекция.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Арифметические свойства координат вектора.
Базис системы векторов. Координаты вектора. Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.
Базис системы векторов. Координаты вектора. Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве. w
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Ортогональный и ортонормированный базисы.
Вычисление скалярного произведения векторов через координаты в произвольном и ортонормированном базисах. Вычисление длины вектора, угла между векторами.
Задание ориентации на прямой, на плоскости и в пространстве. Векторное произведение векторов и его свойства, геометрический смысл.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Ориентированный объем параллелепипеда. Критерий компланарности 3 векторов.
Векторное и смешанное произведения векторов в координатах.
Уравнения кривых и поверхностей.
Декартова система координат. Координаты точки. Деление отрезка в данном отношении.
Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между 2 точками.
Полярная система координат. Связь полярных и прямоугольных декартовых координат.
Уравнения линий и поверхностей. Параметрические уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Примеры.
Примеры построения кривых. Вывод уравнения кривой в полярной и прямоугольной декартовой системах координат. Конхоида Никомеда. Циклоида.
Прямые и плоскости
Прямая на плоскости. Общее уравнение. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, и с заданным вектором нормали. Параметрические уравнения прямой.
Различные виды уравнений прямой на плоскости: параметрические, каноническое, в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми.
Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве.
Плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и с заданным вектором нормали. Параметрические уравнения плоскости.
Параметрические уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.
Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические, канонические уравнения. Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до прямой, между двумя прямыми в пространстве.
Линии и поверхности второго порядка.
Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты.
Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Родство эллипса, гиперболы и параболы.
Преобразование прямоугольных декартовых систем координат: параллельный перенос начала координат, поворот осей координат, общий случай. Матрица перехода от старого базиса к новому.
Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду (центральные линии).
Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду (нецентральные линии).
Классификация кривых 2-го порядка.
Эллипсоид. Каноническое уравнение. Сечения. Эллипсоиды вращения.
Гиперболоиды. Канонические уравнения. Сечения. Гиперболоиды вращения. Прямолинейные образующие.
Конус. Каноническое уравнение. Сечения.
Параболоиды. Канонические уравнения. Сечения. Параболоиды вращения. Прямолинейные образующие.
Цилиндры и их канонические уравнения.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Поверхности вращения.
Основные алгебраические структуры.
Бинарная алгебраическая операция. Определение. Примеры. Свойства (с примерами). Алгебраическая структура. Аддитивная и мультипликативная терминологии.
Полугруппа. Определение. Примеры. Обобщенная ассоциативность. Степень элемента (его кратное).
Группа. Определение. Простейшие свойства. Примеры.
Подгруппа. Определение. Примеры.
Циклические группы. Примеры.
Симметрическая группа степени n.
Изоморфизм групп. Определение. Простейшие свойства. Примеры. Изоморфизм конечных групп. Теорема Кэли.
Кольцо. Определение. Простейшие свойства. Примеры.
Сравнения. Кольцо классов вычетов. Примеры. Делители нуля.
Тело. Поле. Определения. Примеры. Простейшие свойства. Поле классов вычетов. Пример тела.