Экзамен. ТГУ, Россия, Васенин И.М., 2005 г.
Понятие и классификация интегральных уравнений (ИУ).
Сведение задачи Коши для ОДУ к интегральному уравнению Вольтерра.
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к ИУ Фредгольма (ИУФ).
Задача Абеля (вывод ИУ Абеля).
Решение ИУ Фредгольма с вырожденным ядром.
Метод последовательных приближений решения ИУФ. Резольвента.
Теорема о существовании и единственности решения ИУФ.
Решение Фредгольма.
Определитель Фредгольма.
Минор Фредгольма.
Теоремы Фредгольма о собственных значениях и собственных функциях.
Союзное уравнение.
Теория ИУ с симметричными ядрами (теория Гильберта-Шмидта).
Теорема о существовании собственного значения симметричного ядра.
Свойства собственных чисел (вещественность) и собственных функций (ортогональность) симметричного ядра.
Процесс ортогонализации Шмидта собственных функций симметричного ядра. Полная ортонормальная система собственных функций.
Разложение ядра в ряд по собственным функциям полной ортонормальной системы. Билинейная формула.
Собственные значения и собственные функции итерированных ядер в теории Гильберта-Шмидта.
Теорема Гильберта – Шмидта (доказательство сходимости).
Теорема Гильберта – Шмидта (суммирование).
Решение ИУФ с симметричным ядром для случая, когда лямбда не является собственным значением.
Решение ИУФ с симметричным ядром для случая, когда лямбда является собственным значением.
Теорема Стеклова.
Уравнение теплопроводности (вывод).
Единственность решения краевых задач для уравнений параболического типа.
Принцип максимум решения уравнения теплопроводности.
Автомодельное решение уравнения теплопроводности.
Задача о тепловом импульсе. Функция Грина для задачи Коши на бесконечной прямой.
Решение задачи Коши на бесконечной прямой. Интеграл Пуассона.
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Функция Грина для ГУ 1го и 2го рода (однородные ГУ).
Решение уравнения теплопроводности с неоднородным ГУ 2го рода.
Решение уравнения теплопроводности с неоднородным ГУ 1го рода.
Функция Грина для 3мерного пространства. Решение задачи Коши в 3хмерном пространстве.
Функция влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.
Функция влияния мгновенного сферического источника тепла.
Классификация функций Грина для уравнения теплопроводности.
Задача Стефана.
Режимы с обострением.
Понятие и классификация интегральных уравнений (ИУ).
Сведение задачи Коши для ОДУ к интегральному уравнению Вольтерра.
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к ИУ Фредгольма (ИУФ).
Задача Абеля (вывод ИУ Абеля).
Решение ИУ Фредгольма с вырожденным ядром.
Метод последовательных приближений решения ИУФ. Резольвента.
Теорема о существовании и единственности решения ИУФ.
Решение Фредгольма.
Определитель Фредгольма.
Минор Фредгольма.
Теоремы Фредгольма о собственных значениях и собственных функциях.
Союзное уравнение.
Теория ИУ с симметричными ядрами (теория Гильберта-Шмидта).
Теорема о существовании собственного значения симметричного ядра.
Свойства собственных чисел (вещественность) и собственных функций (ортогональность) симметричного ядра.
Процесс ортогонализации Шмидта собственных функций симметричного ядра. Полная ортонормальная система собственных функций.
Разложение ядра в ряд по собственным функциям полной ортонормальной системы. Билинейная формула.
Собственные значения и собственные функции итерированных ядер в теории Гильберта-Шмидта.
Теорема Гильберта – Шмидта (доказательство сходимости).
Теорема Гильберта – Шмидта (суммирование).
Решение ИУФ с симметричным ядром для случая, когда лямбда не является собственным значением.
Решение ИУФ с симметричным ядром для случая, когда лямбда является собственным значением.
Теорема Стеклова.
Уравнение теплопроводности (вывод).
Единственность решения краевых задач для уравнений параболического типа.
Принцип максимум решения уравнения теплопроводности.
Автомодельное решение уравнения теплопроводности.
Задача о тепловом импульсе. Функция Грина для задачи Коши на бесконечной прямой.
Решение задачи Коши на бесконечной прямой. Интеграл Пуассона.
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Функция Грина для ГУ 1го и 2го рода (однородные ГУ).
Решение уравнения теплопроводности с неоднородным ГУ 2го рода.
Решение уравнения теплопроводности с неоднородным ГУ 1го рода.
Функция Грина для 3мерного пространства. Решение задачи Коши в 3хмерном пространстве.
Функция влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.
Функция влияния мгновенного сферического источника тепла.
Классификация функций Грина для уравнения теплопроводности.
Задача Стефана.
Режимы с обострением.