Учебное пособие. — Ижевск, изд-во Удм. ун-та, 1996. — 498 с.
Язык математики.
Необходимость точного языка в математике.
Как и почему появился язык математической логики?
Зачем изучать формальный язык математики?
Простейшие высказывания.
Что такое высказывание?
Математическая интерпретация высказываний.
Предметы и универс. Термы.
Предикаты и элементарные формулы.
Некоторые обозначения.
Запись высказываний. Логические формулы.
Связка ‘и’.
Связка ‘или’.
Связка ‘следует’.
Связка ‘тогда и только тогда’.
Связка ‘не’.
Таблицы истинности.
‘Для всех’.
‘Существует’.
Ограниченные кванторы.
Методы перевода с естественного языка на математический и обратно.
Равенство. Единственность и неединственность.
Таблицы истинности и формулировка отрицаний.
Простейшие преобразования классических формул.
Базовые математические понятия.
Множества. Диаграммы Эйлера и Венна.
Отношения.
Функции.
Фактор-множества.
Графы.
Диаграммы.
Слова.
Классическая логика.
Индукция и определения.
О разных видах индукции.
Об индуктивных определениях.
Трансфинитная индукция и ординалы.
Введение в синтаксис.
Синтаксис логического языка.
Корректность синтаксических определений.
Свободные и связанные переменные. Подстановка.
Семантика классической логики.
Интерпретация языка конечных типов.
Теория, модель, логическое следствие.
Теорема о замене эквивалентных.
Булевы алгебры и алгебраическая семантика.
Языки высших порядков.
Семантические таблицы для классической логики.
От таблиц истинности к семантическим таблицам.
Правила разбиения формул в семантических таблицах.
Семантические таблицы с кванторами.
Сокращенные семантические таблицы.
Исчисления традиционного типа.
Секвенции и формализация семантических таблиц.
Семантические таблицы с равенством и для теорий.
Теорема полноты.
Сечения.
Элементы нестандартного анализа.
Историческое введение.
Нестандартная модель.
Нестандартная действительная ось.
Нестандартные переформулировки.
Суперструктуры и теорема Лося.
Естественный вывод в классической логике.
О структуре математических доказательств.
Правила естественного вывода.
Естественный вывод как граф.
Теорема полноты естественного вывода.
Логика с равенством и ее полнота.
Окольные пути как средство сокращения вывода.
Несколько слов о языке Пролог.
Основы теории определений.
Определения в математике.
Сокращающие определения.
Теорема Крейга об интерполяции.
Теорема Бета об определимости.
Неполнота и неформализуемость.
Теорема Тарского о невыразимости истины.
Аксиоматическое описание вычислимости.
Представимость через доказуемость.
Неполнота.
Вокруг теоремы Гёделя.
Формализация неформализуемых понятий.
Введение в неклассические логики.
Основы λ-исчисления.
Основы λ-языка.
λ-конверсии.
Теорема Черча-Россера.
λ-исчисление.
Корни неклассических логик.
Корни неклассических логик в традиционной логике.
Сила и недостатки классической логики.
Использование доказательств.
Интуиционистская логика.
Создание интуиционистской логики.
Интерпретация Колмогорова.
Формализация Гейтинга.
Модели Крипке.
Семантические таблицы для интуиционистской логики.
Полнота семантических таблиц.
Фундаментальные результаты теории доказательств.
Реализуемости и вариации интуиционистских принципов.
Интуиционистская логика и категории.
О формализации незнания.
Семантики Крипке и базирующиеся на них логики.
Общая идея.
Модальные логики и их модели Крипке.
Вариации на тему модальностей и Крипке.
Проблема отрицания.
Три стороны классического отрицания и четвертая - содержательного.
Минимальная логика.
Логика с сильным отрицанием.
Логика неполной информации.
Основы логики противодействия.
Паранепротиворечивая логика.
Доказательства и программы.
Изоморфизм Карри-Ховарда.
Системы высших типов.
Призраки и классификация выводов.
Теорема о верификации.
Проблема совместимости операторов на примере exit.
Необходимость точного языка в математике.
Как и почему появился язык математической логики?
Зачем изучать формальный язык математики?
Простейшие высказывания.
Что такое высказывание?
Математическая интерпретация высказываний.
Предметы и универс. Термы.
Предикаты и элементарные формулы.
Некоторые обозначения.
Запись высказываний. Логические формулы.
Связка ‘и’.
Связка ‘или’.
Связка ‘следует’.
Связка ‘тогда и только тогда’.
Связка ‘не’.
Таблицы истинности.
‘Для всех’.
‘Существует’.
Ограниченные кванторы.
Методы перевода с естественного языка на математический и обратно.
Равенство. Единственность и неединственность.
Таблицы истинности и формулировка отрицаний.
Простейшие преобразования классических формул.
Базовые математические понятия.
Множества. Диаграммы Эйлера и Венна.
Отношения.
Функции.
Фактор-множества.
Графы.
Диаграммы.
Слова.
Классическая логика.
Индукция и определения.
О разных видах индукции.
Об индуктивных определениях.
Трансфинитная индукция и ординалы.
Введение в синтаксис.
Синтаксис логического языка.
Корректность синтаксических определений.
Свободные и связанные переменные. Подстановка.
Семантика классической логики.
Интерпретация языка конечных типов.
Теория, модель, логическое следствие.
Теорема о замене эквивалентных.
Булевы алгебры и алгебраическая семантика.
Языки высших порядков.
Семантические таблицы для классической логики.
От таблиц истинности к семантическим таблицам.
Правила разбиения формул в семантических таблицах.
Семантические таблицы с кванторами.
Сокращенные семантические таблицы.
Исчисления традиционного типа.
Секвенции и формализация семантических таблиц.
Семантические таблицы с равенством и для теорий.
Теорема полноты.
Сечения.
Элементы нестандартного анализа.
Историческое введение.
Нестандартная модель.
Нестандартная действительная ось.
Нестандартные переформулировки.
Суперструктуры и теорема Лося.
Естественный вывод в классической логике.
О структуре математических доказательств.
Правила естественного вывода.
Естественный вывод как граф.
Теорема полноты естественного вывода.
Логика с равенством и ее полнота.
Окольные пути как средство сокращения вывода.
Несколько слов о языке Пролог.
Основы теории определений.
Определения в математике.
Сокращающие определения.
Теорема Крейга об интерполяции.
Теорема Бета об определимости.
Неполнота и неформализуемость.
Теорема Тарского о невыразимости истины.
Аксиоматическое описание вычислимости.
Представимость через доказуемость.
Неполнота.
Вокруг теоремы Гёделя.
Формализация неформализуемых понятий.
Введение в неклассические логики.
Основы λ-исчисления.
Основы λ-языка.
λ-конверсии.
Теорема Черча-Россера.
λ-исчисление.
Корни неклассических логик.
Корни неклассических логик в традиционной логике.
Сила и недостатки классической логики.
Использование доказательств.
Интуиционистская логика.
Создание интуиционистской логики.
Интерпретация Колмогорова.
Формализация Гейтинга.
Модели Крипке.
Семантические таблицы для интуиционистской логики.
Полнота семантических таблиц.
Фундаментальные результаты теории доказательств.
Реализуемости и вариации интуиционистских принципов.
Интуиционистская логика и категории.
О формализации незнания.
Семантики Крипке и базирующиеся на них логики.
Общая идея.
Модальные логики и их модели Крипке.
Вариации на тему модальностей и Крипке.
Проблема отрицания.
Три стороны классического отрицания и четвертая - содержательного.
Минимальная логика.
Логика с сильным отрицанием.
Логика неполной информации.
Основы логики противодействия.
Паранепротиворечивая логика.
Доказательства и программы.
Изоморфизм Карри-Ховарда.
Системы высших типов.
Призраки и классификация выводов.
Теорема о верификации.
Проблема совместимости операторов на примере exit.