Кобельков Г.М. Лекции по численным методам

Оглавление.
Представление вещественных чисел в компьютере.
Мантисса и порядок.
Округление и ошибки.
Аппроксимация функций.
Интерполяция многочленом Лагранжа.
Постановка задачи и оценка её сложности.
Оценка погрешности приближения функции многочленом Лагранжа.
Многочлены Чебышёва.
Тригонометрическая интерполяция.
Дискретное преобразование Фурье.
Быстрое дискретное преобразование Фурье.
ённые разности.
Определение разделённой разности и её простейшие свойства.
Интерполяционная формула Ньютона.
Интерполяция с кратными узлами.
Наилучшее приближение в нормированных пространствах.
Общая теория.
Наилучшее приближение многочленами. Чебышёвский альтернанс.
Примеры многочленов наилучшего приближения.
Ортогональные системы и их свойства.
Гильбертовы пространства. Процесс ортогонализации.
Ортогональные многочлены и их свойства.
Наилучшее приближение в гильбертовых пространствах.
Сплайны.
Определение сплайнов.
В-сплайн.
Численные методы и дифференциальное исчисление.
Численное дифференцирование.
Сжатие информации.
Двумерный случай.
Численное интегрирование.
Формула прямоугольников.
Метод трапеций.
Метод Симпсона.
Оценка погрешности квадратурных формул.
Подсчёт интегралов по составным квадратурным формулам.
Составные квадратурные формулы.
Правило Рунге.
Интегрирование быстро осциллирующих функций.
Оптимальные квадратуры.
Численные методы линейной алгебры.
Точные методы.
Метод отражений.
Метод Холецкого.
Итерационные методы.
Метод простой итерации.
Модификация метода простой итерации (метод Ричардсона).
Upgrade метода Ричардсона, или чебышевское ускорение.
Линейный оптимальный процесс.
Другие методы.
Метод скорейшего спуска.
Метод Ричардсона для несимметричных матриц.
Метод решения симметричных плохо обусловленных систем.
Метод Зейделя.
Метод сопряжённых градиентов.
Что делать, когда всё плохо?
Метод регуляризации по Тихонову.
Метод Поспелова для решения плохо обусловленных систем Нелинейные и дифференциальные уравнения.
Нелинейные уравнения.
Метод половинного деления.
Метод простой итерации.
Метод Ньютона.
Дифференциальные уравнения.
Метод Эйлера и его модификации.
Метод Рунге –Кутта.
Метод Рунге априорной оценки погрешности.
Обобщение метода Рунге –Кутта.
Разностные схемы для решения дифференциальных уравнений.
Устойчивость схем в определениях и примерах.
Метод Лебедева для решения жёстких систем ОДУ.
Простейшая краевая задача.
Разные определения и теоремы.
Три разностные схемы, спектральный признак.
Спектральный признак устойчивости.
Схемы с весами.
Явная схема.
Неявная схема.
Схема с весами.
Сеточные теоремы вложения.
Методы стрельбы и прогонки.
Метод прогонки.
Метод стрельбы.
Повышение порядков аппроксимации. Метод баланса.
Пример номер раз.
Пример номер два.
Метод баланса.
Метод конечных элементов (проекционный метод).
Интегральные уравнения второго рода.