М.: Государственное издательство физико-математической литературы,
1961. — 407 с.
Теория линейных полуупорядоченных пространств, иначе - теория
линейных структур, представляет одно из направлений функционального
анализа. От читателя требуется знание университетского курса теории
функций вещественной переменной и основных сведений функционального
анализа в нормированных пространствах.
Оглавление.
Предисловие.
Частично упорядоченные множества.
Общее понятие частично упорядоченного множества.
Направленные множества и направления.
Предел числового направления.
Предел направления в топологическом пространстве.
Максимальные и минимальные элементы. Теорема Цорна.
Верхние и нижние грани.
Изоморфизм частично упорядоченных множеств.
Структуры.
Общее понятие структуры.
Подструктуры.
Полные и условно полные структуры.
Дистрибутивные структуры.
Булевы алгебры.
Сходимость по упорядочению.
Топология упорядочения в структурах.
Некоторые приложения структур в топологии.
Представление булевой алгебры в виде кольца открыто-замкнутых множеств.
Линейные структуры.
Определение линейной структуры.
Другой подход к определению линейной структуры - понятие К-линеала.
Примеры К-линеалов.
Представление элементов линейной структуры в виде разности положительных элементов. Модуль элемента.
Дистрибутивность линейной структуры.
Дизъюнктные элементы и множества.
(о)-сходимость в К-линеалах.
(*)-сходимость в К-линеалах.
Нормальные подлинеалы.
Принцип Архимеда и его следствия.
Сходимость с регулятором.
К-линеалы с единицей.
Дискретные элементы.
Конечномерные К-линеалы.
К-пространства.
Определение К-пространства.
К-пространства с единицей.
Проектирование на компоненту.
Свойства оператора проектирования.
Разложение К-пространства на компоненты.
Соединение К-пространств.
Разложение К-пространства на компоненты с единицей и погружение произвольного К-пространства в К-пространство с единицей.
След элементов в К-пространствах с единицей.
Ряды в К-пространствах.
Интегральное представление элементов.
Пополнение архимедова К-линеала до К-пространства.
Дискретные К-пространства.
Представление линейных структур с помощью непрерывных функций на бикомпактах.
Полунепрерывные функции.
К-пространство непрерывных функций на бикомпакте.
Представление К-пространства ограниченных элементов с помощью непрерывных функций.
Расширенные К-пространства.
Максимальное расширение К-пространства.
Представление архимедовых К-линеалов. Теорема о сохранении соотношений.
Полуупорядоченные кольца.
К-пространства счетного типа.
Булевы алгебры счетного типа.
К-пространства счетного типа.
(о)-топология в К-пространствах счетного типа.
Почти регулярные К-пространства.
Регулярные К-пространства.
Расширенные регулярные К-пространства.
Нормированные и счетно-нормированные структуры.
Нормированные структуры.
Банаховы структуры.
КN-пространства.
Нормировка К-линеала ограниченных элементов.
Представление КN-линеала ограниченных элементов с помощью непрерывных функций.
КВ-пространства.
КВ-пространства с аддитивной нормой.
Счетно-нормированные структуры.
Линейные операторы.
Основные определения.
К-пространство регулярных операторов.
(о)-линейные операторы.
Вполне линейные операторы.
Нормальные операторы.
Линейные операторы в нормированных структурах.
Линейные операторы в КВ-пространства.
Линейные операторы в счетно-нормированных структурах.
Аддитивные функции на булевой алгебре.
Интегральное представление линейных операторов.
Линейные функционалы.
Регулярные функционалы.
(о)-линейные и вполне линейные функционалы.
(о)-линейные функционалы в К-пространствах ограниченных элементов.
Линейные функционалы в нормированных и счетно-нормированных структурах.
Погружение К-линеала во второе сопряженное К-пространство.
Рефлексивные К-пространства.
Погружение нормированной структуры во второе (b)-сопряженное пространство.
Распространение линейных операторов.
Распространение (bо)-линейных операторов.
Распространение (b)-линейных операторов.
Распространение положительных операторов.
Распространение регулярных операторов с архимедова К-линеала на его К-пополнение.
Распространение некоторых (о)-линейных функционалов.
Применение к теории интеграла.
Приложения к теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
Основные сведения о самосопряженных операторах.
К-пространства ограниченных самосопряженных операторов.
Существование главной единицы в сильно замкнутом кольце ограниченных самосопряженных операторов.
Спектральное разложение самосопряженных операторов.
Булева мера на прямой.
Условия счетной аддитивности булевой меры.
Измеримые функции от элементов К-пространства.
Функции от ограниченного самосопряженного оператора.
Функциональные уравнения.
Структурно-нормированные пространства.
Общие теоремы о методе последовательных приближений.
Применение общих теорем к линейным уравнениям.
Производная от оператора.
Метод Ньютона.
Монотонные процессы последовательных приближений.
Частично упорядоченные нормированные пространства.
Пространства Крейна.
Положительные (b)-линейные функционалы в пространствах Крейна.
Структуры Крейна и их представления.
О неподвижных точках сопряженных операторов.
Литература.
Предметный указатель.
Предисловие.
Частично упорядоченные множества.
Общее понятие частично упорядоченного множества.
Направленные множества и направления.
Предел числового направления.
Предел направления в топологическом пространстве.
Максимальные и минимальные элементы. Теорема Цорна.
Верхние и нижние грани.
Изоморфизм частично упорядоченных множеств.
Структуры.
Общее понятие структуры.
Подструктуры.
Полные и условно полные структуры.
Дистрибутивные структуры.
Булевы алгебры.
Сходимость по упорядочению.
Топология упорядочения в структурах.
Некоторые приложения структур в топологии.
Представление булевой алгебры в виде кольца открыто-замкнутых множеств.
Линейные структуры.
Определение линейной структуры.
Другой подход к определению линейной структуры - понятие К-линеала.
Примеры К-линеалов.
Представление элементов линейной структуры в виде разности положительных элементов. Модуль элемента.
Дистрибутивность линейной структуры.
Дизъюнктные элементы и множества.
(о)-сходимость в К-линеалах.
(*)-сходимость в К-линеалах.
Нормальные подлинеалы.
Принцип Архимеда и его следствия.
Сходимость с регулятором.
К-линеалы с единицей.
Дискретные элементы.
Конечномерные К-линеалы.
К-пространства.
Определение К-пространства.
К-пространства с единицей.
Проектирование на компоненту.
Свойства оператора проектирования.
Разложение К-пространства на компоненты.
Соединение К-пространств.
Разложение К-пространства на компоненты с единицей и погружение произвольного К-пространства в К-пространство с единицей.
След элементов в К-пространствах с единицей.
Ряды в К-пространствах.
Интегральное представление элементов.
Пополнение архимедова К-линеала до К-пространства.
Дискретные К-пространства.
Представление линейных структур с помощью непрерывных функций на бикомпактах.
Полунепрерывные функции.
К-пространство непрерывных функций на бикомпакте.
Представление К-пространства ограниченных элементов с помощью непрерывных функций.
Расширенные К-пространства.
Максимальное расширение К-пространства.
Представление архимедовых К-линеалов. Теорема о сохранении соотношений.
Полуупорядоченные кольца.
К-пространства счетного типа.
Булевы алгебры счетного типа.
К-пространства счетного типа.
(о)-топология в К-пространствах счетного типа.
Почти регулярные К-пространства.
Регулярные К-пространства.
Расширенные регулярные К-пространства.
Нормированные и счетно-нормированные структуры.
Нормированные структуры.
Банаховы структуры.
КN-пространства.
Нормировка К-линеала ограниченных элементов.
Представление КN-линеала ограниченных элементов с помощью непрерывных функций.
КВ-пространства.
КВ-пространства с аддитивной нормой.
Счетно-нормированные структуры.
Линейные операторы.
Основные определения.
К-пространство регулярных операторов.
(о)-линейные операторы.
Вполне линейные операторы.
Нормальные операторы.
Линейные операторы в нормированных структурах.
Линейные операторы в КВ-пространства.
Линейные операторы в счетно-нормированных структурах.
Аддитивные функции на булевой алгебре.
Интегральное представление линейных операторов.
Линейные функционалы.
Регулярные функционалы.
(о)-линейные и вполне линейные функционалы.
(о)-линейные функционалы в К-пространствах ограниченных элементов.
Линейные функционалы в нормированных и счетно-нормированных структурах.
Погружение К-линеала во второе сопряженное К-пространство.
Рефлексивные К-пространства.
Погружение нормированной структуры во второе (b)-сопряженное пространство.
Распространение линейных операторов.
Распространение (bо)-линейных операторов.
Распространение (b)-линейных операторов.
Распространение положительных операторов.
Распространение регулярных операторов с архимедова К-линеала на его К-пополнение.
Распространение некоторых (о)-линейных функционалов.
Применение к теории интеграла.
Приложения к теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
Основные сведения о самосопряженных операторах.
К-пространства ограниченных самосопряженных операторов.
Существование главной единицы в сильно замкнутом кольце ограниченных самосопряженных операторов.
Спектральное разложение самосопряженных операторов.
Булева мера на прямой.
Условия счетной аддитивности булевой меры.
Измеримые функции от элементов К-пространства.
Функции от ограниченного самосопряженного оператора.
Функциональные уравнения.
Структурно-нормированные пространства.
Общие теоремы о методе последовательных приближений.
Применение общих теорем к линейным уравнениям.
Производная от оператора.
Метод Ньютона.
Монотонные процессы последовательных приближений.
Частично упорядоченные нормированные пространства.
Пространства Крейна.
Положительные (b)-линейные функционалы в пространствах Крейна.
Структуры Крейна и их представления.
О неподвижных точках сопряженных операторов.
Литература.
Предметный указатель.