Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2011. — 543 с. — ISBN 5-7416-0147-7.
Предназначено для студентов физических и технических специальностей
университетов и вузов, является введением в теорию линейных
пространств, состав и упорядочение материала которого определен
ориентацией на прикладной характер специализации читателя. Пособие
написано на основе лекций, читавшихся автором студентам МФТИ.
Введение
От автора
Векторы и линейные операции с ними
Матричные объекты
Направленные отрезки
Определение множества векторов
Линейная зависимость векторов
Базис. Координаты вектора в базисе
Действия с векторами в координатном представлении
Декартова система координат
Изменение координат при замене базиса и начала координат
Произведения векторов
Ортогональное проектирование
Скалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения в координатах
Векторное произведение векторов и его свойства
Выражение векторного произведения в координатах
Смешанное произведение
Выражение смешанного произведения в координатах
Двойное векторное произведение
Замечания об инвариантности произведений векторов
Прямая и плоскость
Прямая на плоскости
Способы задания прямой на плоскости
Плоскость в пространстве
Способы задания прямой в пространстве
Решение геометрических задач методами векторной алгебры
Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
Линии на плоскости и в пространстве
Поверхности в пространстве
Цилиндрические и конические поверхности
Линии второго порядка на плоскости
Поверхности второго порядка в пространстве
Альтернативные системы координат
Преобразования плоскости
Произведение матриц
Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости
Линейные операторы на плоскости
Аффинные преобразования и их свойства
Ортогональные преобразования плоскости
Понятие группы
Системы линейных уравнений
Определители
Свойства определителей
Разложение определителей
Правило Крамера
Ранг матрицы
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Фундаментальная система решений
Элементарные преобразования. Метод Гаусса
Линейное пространство
Определение линейного пространства
Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве
Подмножества линейного пространства
Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении
Изоморфизм линейных пространств
Линейные зависимости в линейном пространстве
Линейные операторы
Действия с линейными операторами
Координатное представление линейных операторов
Область значений и ядро линейного оператора
Инвариантные подпространства и собственные векторы
Свойства собственных векторов и собственных значений
Линейные функционалы
Нелинейные зависимости в линейном пространстве
Билинейные функционалы
Квадратичные функционалы
Исследование знака квадратичного функционала
Инварианты линий второго порядка на плоскости
Экстремальные свойства квадратичных функционалов
Полилинейные функционалы
Евклидово пространство
Определение и основные свойства
Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса
Координатное представление скалярного произведения
Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве
Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве
Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
Самосопряженные операторы
Ортогональные операторы
Унитарное пространство
Определение унитарного пространства
Линейные операторы в унитарном пространстве
Эрмитовы операторы
Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора
Соотношение неопределенностей
Прикладные задачи линейной алгебры
Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду
Классификация поверхностей второго порядка
Аппроксимация функций многочленами
Приложения
Свойства линий второго порядка на плоскости
Вырожденные линии второго порядка
Эллипс и его свойства
Гипербола и ее свойства
Парабола и ее свойства
Свойства поверхностей второго порядка
Вырожденные поверхности второго порядка
Эллипсоид
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Поверхности вращения
Комплексные числа
Элементы тензорного исчисления
Замечания об определении объектов в линейном пространстве
Определение и обозначение тензоров
Операции с тензорами
Тензоры в евклидовом пространстве
Тензоры в ортонормированном базисе
Список литературы
Предметный указатель
От автора
Векторы и линейные операции с ними
Матричные объекты
Направленные отрезки
Определение множества векторов
Линейная зависимость векторов
Базис. Координаты вектора в базисе
Действия с векторами в координатном представлении
Декартова система координат
Изменение координат при замене базиса и начала координат
Произведения векторов
Ортогональное проектирование
Скалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения в координатах
Векторное произведение векторов и его свойства
Выражение векторного произведения в координатах
Смешанное произведение
Выражение смешанного произведения в координатах
Двойное векторное произведение
Замечания об инвариантности произведений векторов
Прямая и плоскость
Прямая на плоскости
Способы задания прямой на плоскости
Плоскость в пространстве
Способы задания прямой в пространстве
Решение геометрических задач методами векторной алгебры
Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
Линии на плоскости и в пространстве
Поверхности в пространстве
Цилиндрические и конические поверхности
Линии второго порядка на плоскости
Поверхности второго порядка в пространстве
Альтернативные системы координат
Преобразования плоскости
Произведение матриц
Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости
Линейные операторы на плоскости
Аффинные преобразования и их свойства
Ортогональные преобразования плоскости
Понятие группы
Системы линейных уравнений
Определители
Свойства определителей
Разложение определителей
Правило Крамера
Ранг матрицы
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Фундаментальная система решений
Элементарные преобразования. Метод Гаусса
Линейное пространство
Определение линейного пространства
Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве
Подмножества линейного пространства
Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении
Изоморфизм линейных пространств
Линейные зависимости в линейном пространстве
Линейные операторы
Действия с линейными операторами
Координатное представление линейных операторов
Область значений и ядро линейного оператора
Инвариантные подпространства и собственные векторы
Свойства собственных векторов и собственных значений
Линейные функционалы
Нелинейные зависимости в линейном пространстве
Билинейные функционалы
Квадратичные функционалы
Исследование знака квадратичного функционала
Инварианты линий второго порядка на плоскости
Экстремальные свойства квадратичных функционалов
Полилинейные функционалы
Евклидово пространство
Определение и основные свойства
Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса
Координатное представление скалярного произведения
Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве
Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве
Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
Самосопряженные операторы
Ортогональные операторы
Унитарное пространство
Определение унитарного пространства
Линейные операторы в унитарном пространстве
Эрмитовы операторы
Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора
Соотношение неопределенностей
Прикладные задачи линейной алгебры
Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду
Классификация поверхностей второго порядка
Аппроксимация функций многочленами
Приложения
Свойства линий второго порядка на плоскости
Вырожденные линии второго порядка
Эллипс и его свойства
Гипербола и ее свойства
Парабола и ее свойства
Свойства поверхностей второго порядка
Вырожденные поверхности второго порядка
Эллипсоид
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Поверхности вращения
Комплексные числа
Элементы тензорного исчисления
Замечания об определении объектов в линейном пространстве
Определение и обозначение тензоров
Операции с тензорами
Тензоры в евклидовом пространстве
Тензоры в ортонормированном базисе
Список литературы
Предметный указатель