Курс лекций. — Новосибирск: Новосибирский государственный
университет, 2012. — 137 с.
Пособие соответствует программе курса лекций "Дополнительные главы
функционального анализа", читаемого на третьем курсе физического
факультета. Оно содержит основы теории неограниченных операторов,
борелевское исчисление для самосопряженных операторов, включая
спектральную теорему, а также примеры используемых понятий и
конструкций на основе операторов импульса и координаты с различными
областями определения. Также рассмотрены примеры других операторов,
встречающихся в квантовой механике и теории динамических
систем.
Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Содержание
Список обозначений
Функции от матриц
Введение
Алгебра квадратных матриц
Функции, определённые на спектре матрицы
Формула через резольвенту
Функции от эрмитовых операторов
Сопряжение относительно скалярного произведения
Теорема о перестановочности
Исчисление эрмитовых операторов
Неограниченные операторы
Определение неограниченного оператора
Замыкание оператора
Сопряжение для неограниченных операторов
Определение оператора, сопряженного к неограниченному
О связи сопряжения и замыкания
Симметрические, самосопряженные и существенно самосопряженные операторы
Сопряжение дифференциальных операторов
Критерий самосопряженности симметрического оператора
Дифференциальные операторы с граничными условиями
Расширения симметрических операторов
Индекс дефекта
T-симметричность, T-замкнутость и T-ортогональность
Теорема о симметрических расширениях
Самосопряженные расширения оператора импульса на отрезке с нулевыми граничными условиями
Спектр неограниченных операторов
Определение спектра
Спектр симметрического и самосопряженного операторов
Поведение спектра при расширении оператора
Спектральная теорема: геометрический вид
Унитарная эквивалентность
Спектральная мера, ассоциированная с циклическим вектором
Спектральная теорема для ограниченного самосопряженного оператора
Спектральная теорема для ограниченного нормального оператора
Преобразование Кэли и спектральная теорема для неограниченного самосопряженного оператора
Спектральная теорема: аналитическая форма
Проекционные меры
Интеграл по проекционной мере от ограниченной вещественной функции
Интеграл по проекционной мере от неограниченной вещественной функции
Спектральное разложение для ограниченного самосопряженного оператора
Спектральные проекторы
Борелевское исчисление неограниченных самосопряженных операторов
Спектральное разложение для неограниченного самосопряженного оператора
Спектральное проекторы и резольвента
Спектральные проекторы для эрмитовой матрицы
Связь спектральных проекторов и резольвенты в бесконечномерном случае
Спектральные проекторы и спектр
Коммутационные соотношения
Унитарная группа
Теорема Стоуна
Канонические коммутационные соотношения
Коммутационные соотношения в форме Вейля
Пример Нельсона
Операторы квантовой механики
Одномерный оператор Шредингера
Оператор рассеяния
Введение в эргодическую теорию
Теоремы Неймана и Биркгофа
Динамические системы механики
Гамильтоновы системы
Список литературы
Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Содержание
Список обозначений
Функции от матриц
Введение
Алгебра квадратных матриц
Функции, определённые на спектре матрицы
Формула через резольвенту
Функции от эрмитовых операторов
Сопряжение относительно скалярного произведения
Теорема о перестановочности
Исчисление эрмитовых операторов
Неограниченные операторы
Определение неограниченного оператора
Замыкание оператора
Сопряжение для неограниченных операторов
Определение оператора, сопряженного к неограниченному
О связи сопряжения и замыкания
Симметрические, самосопряженные и существенно самосопряженные операторы
Сопряжение дифференциальных операторов
Критерий самосопряженности симметрического оператора
Дифференциальные операторы с граничными условиями
Расширения симметрических операторов
Индекс дефекта
T-симметричность, T-замкнутость и T-ортогональность
Теорема о симметрических расширениях
Самосопряженные расширения оператора импульса на отрезке с нулевыми граничными условиями
Спектр неограниченных операторов
Определение спектра
Спектр симметрического и самосопряженного операторов
Поведение спектра при расширении оператора
Спектральная теорема: геометрический вид
Унитарная эквивалентность
Спектральная мера, ассоциированная с циклическим вектором
Спектральная теорема для ограниченного самосопряженного оператора
Спектральная теорема для ограниченного нормального оператора
Преобразование Кэли и спектральная теорема для неограниченного самосопряженного оператора
Спектральная теорема: аналитическая форма
Проекционные меры
Интеграл по проекционной мере от ограниченной вещественной функции
Интеграл по проекционной мере от неограниченной вещественной функции
Спектральное разложение для ограниченного самосопряженного оператора
Спектральные проекторы
Борелевское исчисление неограниченных самосопряженных операторов
Спектральное разложение для неограниченного самосопряженного оператора
Спектральное проекторы и резольвента
Спектральные проекторы для эрмитовой матрицы
Связь спектральных проекторов и резольвенты в бесконечномерном случае
Спектральные проекторы и спектр
Коммутационные соотношения
Унитарная группа
Теорема Стоуна
Канонические коммутационные соотношения
Коммутационные соотношения в форме Вейля
Пример Нельсона
Операторы квантовой механики
Одномерный оператор Шредингера
Оператор рассеяния
Введение в эргодическую теорию
Теоремы Неймана и Биркгофа
Динамические системы механики
Гамильтоновы системы
Список литературы