Экзамен, Самарский университет СНИУ (бывший аэрокосмический СГАУ),
Самара, Коломиец Э.И. или Привалов А.Ю., 2014, 57 вопросов, 75
страниц.
Ответы набирались вручную на основе лекций и методичек преподавателя. Есть оглавление. К экзамену по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика». Ответы в виде шпаргалок для вырезания Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
Классическое определение вероятности. Пример.
Геометрическое определение вероятности. Пример.
Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Условная вероятность и ее свойства.
Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
Понятие случайной величины (СВ). Функция распределения СВ и ее свойства.
Дискретные СВ. Закон распределения дискретной СВ.
Важнейшие дискретные СВ.
Непрерывные СВ. Плотность вероятностей и ее свойства.
Важнейшие непрерывные СВ.
Математическое ожидание (МО) дискретных и непрерывных СВ.
Свойства МО.
Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
Числовые характеристики важнейших СВ.
Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
Теоремы о числовых характеристиках.
Некоррелированные СВ. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
Многомерное нормальное распределение и его свойства.
Функции от СВ и их законы распределения.
Закон распределения суммы СВ. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей СВ и связь между ними.
Закон больших чисел (ЗБЧ) для последовательностей СВ. Теоремы Маркова и Чебышева.
ЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных СВ.
Характеристическая функция СВ и ее свойства.
Характеристическая функциа нормальной СВ.
Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных СВ.
ЦПТ для независимых разнораспределенных СВ. Теорема Ляпунова.
Статистическая модель. Генеральная совокупность (ГС), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
Гистограмма и полигон частот.
Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок МО и дисперсии соответственно.
Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
Интервальные оценки. Общая схема построения с помощью центральной статистики и примеры.
Проверка статистических гипотез. Общая схема построения и примеры построения для параметрических гипотез
Гипотезы о виде распределения. Примеры.
Гипотезы об однородности статистических данных. Примеры.
Гипотезы для многомерных выборок. Примеры.
Случайный процесс. Определение и основные характеристики.
Пуассоновский процесс, его свойства.
Основные понятия теории массового обслуживания, классификация систем массового обслуживания.
Теорема Литтла.
Система М/G/1. Теорема Поллачека-Хинчина.
Система М/G/1 с перерывами. Теорема Поллачека-Хинчина для неё.
Ответы набирались вручную на основе лекций и методичек преподавателя. Есть оглавление. К экзамену по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика». Ответы в виде шпаргалок для вырезания Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
Классическое определение вероятности. Пример.
Геометрическое определение вероятности. Пример.
Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Условная вероятность и ее свойства.
Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
Понятие случайной величины (СВ). Функция распределения СВ и ее свойства.
Дискретные СВ. Закон распределения дискретной СВ.
Важнейшие дискретные СВ.
Непрерывные СВ. Плотность вероятностей и ее свойства.
Важнейшие непрерывные СВ.
Математическое ожидание (МО) дискретных и непрерывных СВ.
Свойства МО.
Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
Числовые характеристики важнейших СВ.
Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
Теоремы о числовых характеристиках.
Некоррелированные СВ. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
Многомерное нормальное распределение и его свойства.
Функции от СВ и их законы распределения.
Закон распределения суммы СВ. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей СВ и связь между ними.
Закон больших чисел (ЗБЧ) для последовательностей СВ. Теоремы Маркова и Чебышева.
ЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных СВ.
Характеристическая функция СВ и ее свойства.
Характеристическая функциа нормальной СВ.
Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных СВ.
ЦПТ для независимых разнораспределенных СВ. Теорема Ляпунова.
Статистическая модель. Генеральная совокупность (ГС), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
Гистограмма и полигон частот.
Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок МО и дисперсии соответственно.
Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
Интервальные оценки. Общая схема построения с помощью центральной статистики и примеры.
Проверка статистических гипотез. Общая схема построения и примеры построения для параметрических гипотез
Гипотезы о виде распределения. Примеры.
Гипотезы об однородности статистических данных. Примеры.
Гипотезы для многомерных выборок. Примеры.
Случайный процесс. Определение и основные характеристики.
Пуассоновский процесс, его свойства.
Основные понятия теории массового обслуживания, классификация систем массового обслуживания.
Теорема Литтла.
Система М/G/1. Теорема Поллачека-Хинчина.
Система М/G/1 с перерывами. Теорема Поллачека-Хинчина для неё.