Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 392 стр.
Монография посвящена групповой классификации и построению точных
решений линейных и нелинейных уравнений эволюционного типа. Книга
предназначена для научных сотрудников - математиков и физиков,
аспирантов и студентов старших курсов университетов и институтов
соответствующих специальностей, которые интересуются применением
теоретико-групповых методов к исследованию дифференциальных
уравнений с частными производными.
Основные понятия группового анализа дифференциальных уравнений.
Однопараметрические группы преобразований.
Понятие однопараметрической группы преобразований.
Касательное векторное поле. Уравнения Ли.
Инфинитезимальный оператор группы. Инварианты группы.
Практикум.
Группы, которые допускают дифференциальные уравнения в частных производных.
Предварительное обсуждение на примере нелинейного уравнения теплопроводности
Операция продолжения.
Определяющие уравнения. Примеры вычисления симметрии уравнений
Практикум.
Алгебры Ли операторов симметрии дифференциальных уравнений.
Предварительное обсуждение на примере уравнения Бюргерса.
Алгебры Ли. Необходимые понятия и сведения.
Алгебра Ли инфинитезимальных операторов. Окончание рассмотрения примера.
Практикум.
Симметрийная редукция и инвариантные решения уравнений в частных производных.
Инвариантные решения системы уравнений в частных производных.
Классификация подалгебр алгебры Ли.
Симметрийная редукция и построение инвариантных решений уравнения Бюргерса.
Групповая классификация нелинейных одномерных уравнений эволюционного типа.
Задача групповой классификации дифференциальных уравнений и методы ее решения.
Постановка задачи и обзор известных результатов.
Групповая классификация нелинейного уравнения фильтрации.
Новый подход к решению задачи групповой классификации.
Групповая классификация уравнений теплопроводности с нелинейным источником.
Операторы симметрии и группа эквивалентности уравнения.
Предварительная групповая классификация уравнения.
Завершение групповой классификации уравнения.
Групповая классификация нелинейных уравнений эволюционного типа.
Предварительные результаты групповой классификации уравнения.
Инвариантность уравнений относительно алгебр Ли операторов симметрии с нетривиальным разложением Леви.
Инвариантность уравнения относительно разрешимых алгебр Ли операторов симметрии.
Симметрийная редукция и точные решения нелинейных уравнений эволюционного типа.
Симметрийная редукция и построение точных решений уравнений вида.
Групповая классификация уравнений Фоккера-Планка.
Точно решаемые стационарные уравнения Шредингера.
Групповая классификация одномерного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии.
Использования симметрийных свойств для построения точных решений одномерных уравнений Фоккера-Планка.
Симметрийные свойства двухмерного уравнения Фоккера-Планка.
Симметрийная классификация и точные решения уравнения Крамерса.
Реализация алгебры Ли O(2; 2) и квази-точно решаемые матричные одномерные операторы Шредингера.
Предварительные замечания и алгоритм построения операторов Шредингера.
Расширение алгебры sl(2).
Общий вид эрмитового КТР оператора.
КТР матричные модели.
О новых классах эрмитовых точно решаемых матричных одномерных операторов Шредингера, к которым приводят реализации разрешимых алгебр Ли.
Общий вид эрмитового точно решаемого оператора Шредингера.
Семейство эрмитовых потенциалов.
Однопараметрические группы преобразований.
Понятие однопараметрической группы преобразований.
Касательное векторное поле. Уравнения Ли.
Инфинитезимальный оператор группы. Инварианты группы.
Практикум.
Группы, которые допускают дифференциальные уравнения в частных производных.
Предварительное обсуждение на примере нелинейного уравнения теплопроводности
Операция продолжения.
Определяющие уравнения. Примеры вычисления симметрии уравнений
Практикум.
Алгебры Ли операторов симметрии дифференциальных уравнений.
Предварительное обсуждение на примере уравнения Бюргерса.
Алгебры Ли. Необходимые понятия и сведения.
Алгебра Ли инфинитезимальных операторов. Окончание рассмотрения примера.
Практикум.
Симметрийная редукция и инвариантные решения уравнений в частных производных.
Инвариантные решения системы уравнений в частных производных.
Классификация подалгебр алгебры Ли.
Симметрийная редукция и построение инвариантных решений уравнения Бюргерса.
Групповая классификация нелинейных одномерных уравнений эволюционного типа.
Задача групповой классификации дифференциальных уравнений и методы ее решения.
Постановка задачи и обзор известных результатов.
Групповая классификация нелинейного уравнения фильтрации.
Новый подход к решению задачи групповой классификации.
Групповая классификация уравнений теплопроводности с нелинейным источником.
Операторы симметрии и группа эквивалентности уравнения.
Предварительная групповая классификация уравнения.
Завершение групповой классификации уравнения.
Групповая классификация нелинейных уравнений эволюционного типа.
Предварительные результаты групповой классификации уравнения.
Инвариантность уравнений относительно алгебр Ли операторов симметрии с нетривиальным разложением Леви.
Инвариантность уравнения относительно разрешимых алгебр Ли операторов симметрии.
Симметрийная редукция и точные решения нелинейных уравнений эволюционного типа.
Симметрийная редукция и построение точных решений уравнений вида.
Групповая классификация уравнений Фоккера-Планка.
Точно решаемые стационарные уравнения Шредингера.
Групповая классификация одномерного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии.
Использования симметрийных свойств для построения точных решений одномерных уравнений Фоккера-Планка.
Симметрийные свойства двухмерного уравнения Фоккера-Планка.
Симметрийная классификация и точные решения уравнения Крамерса.
Реализация алгебры Ли O(2; 2) и квази-точно решаемые матричные одномерные операторы Шредингера.
Предварительные замечания и алгоритм построения операторов Шредингера.
Расширение алгебры sl(2).
Общий вид эрмитового КТР оператора.
КТР матричные модели.
О новых классах эрмитовых точно решаемых матричных одномерных операторов Шредингера, к которым приводят реализации разрешимых алгебр Ли.
Общий вид эрмитового точно решаемого оператора Шредингера.
Семейство эрмитовых потенциалов.