3-e изд., испр. и доп. —М.: МЦНМО,
2001. — 568 с.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. С задачами и упражнениями.
Натуральные числа
Операции над целыми числами
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
Дополнение к главе I.Теория чисел
Математическая числовая система
Рациональные числа
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы
Замечания из области аналитической геометрии
Комплексные числа
Алгебраические и трансцендентные числа
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Часть
1. Доказательства невозможности и алгебра
Основные геометрические построения
Числа, допускающие построение, и числовые поля
Неразрешимость трех классических проблем
Часть
2. Различные методы выполнения построений
Геометрические преобразования Инверсия
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля
Еще об инверсии и ее применениях
Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
Основные понятия
Двойное отношение
Параллельность и бесконечность
Применения
Аналитическое представление
Задачи на построение с помощью одной линейки
Конические сечения и квадрики
Аксиоматика и нееклидова геометрия
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
Топология
Формула Эйлера для многогранников
Топологические свойства фигур
Другие примеры топологических теорем
Топологическая классификация поверхностей
Функции и пределы
Независимое переменное и функция
Пределы
Пределы при непрерывном приближении
Точное определение непрерывности
Две основные теоремы о непрерывных функциях
Некоторые применения теоремы Больцано
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
Максимумы и минимумы
Задачи из области элементарной геометрии
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
Стационарные точки и дифференциальное исчисление
Треугольник Шварца
Проблема Штейнера
Экстремумы и неравенства
Существование экстремума. Принцип Дирихле
Изопериметрическая проблема
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
Вариационное исчисление
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
Математический анализ
Интеграл
Производная
Техника дифференцирования
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
Основная теорема анализа
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
Дифференциальные уравнения
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
2001. — 568 с.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. С задачами и упражнениями.
Натуральные числа
Операции над целыми числами
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
Дополнение к главе I.Теория чисел
Математическая числовая система
Рациональные числа
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы
Замечания из области аналитической геометрии
Комплексные числа
Алгебраические и трансцендентные числа
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Часть
1. Доказательства невозможности и алгебра
Основные геометрические построения
Числа, допускающие построение, и числовые поля
Неразрешимость трех классических проблем
Часть
2. Различные методы выполнения построений
Геометрические преобразования Инверсия
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля
Еще об инверсии и ее применениях
Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
Основные понятия
Двойное отношение
Параллельность и бесконечность
Применения
Аналитическое представление
Задачи на построение с помощью одной линейки
Конические сечения и квадрики
Аксиоматика и нееклидова геометрия
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
Топология
Формула Эйлера для многогранников
Топологические свойства фигур
Другие примеры топологических теорем
Топологическая классификация поверхностей
Функции и пределы
Независимое переменное и функция
Пределы
Пределы при непрерывном приближении
Точное определение непрерывности
Две основные теоремы о непрерывных функциях
Некоторые применения теоремы Больцано
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
Максимумы и минимумы
Задачи из области элементарной геометрии
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
Стационарные точки и дифференциальное исчисление
Треугольник Шварца
Проблема Штейнера
Экстремумы и неравенства
Существование экстремума. Принцип Дирихле
Изопериметрическая проблема
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
Вариационное исчисление
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
Математический анализ
Интеграл
Производная
Техника дифференцирования
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
Основная теорема анализа
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
Дифференциальные уравнения
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения