Катанаев М.О. Геометрические методы в математической физике

М.: Научно-образовательный центр при МИАН, 2015. — 1438 с. Расширенный вариант курса лекций “Геометрические методы в математической физике”, читавшегося в течении 2008-2015 годов в научно-образовательном центре при МИАН им. В.А. Стеклова. Основная цель курса состоит в изложении некоторых аспектов современной дифференциальной геометрии и ее приложений в математической физике. Большая часть материала посвящена изложению тех разделов геометрии, которые уже нашли применение в математической физике. Изложение ведется параллельно на бескоординатном языке, принятом в современных курсах, и в координатах, что необходимо для приложений. От читателя требуется достаточная математическая подготовка: предполагается, что он знаком с основами общей топологии, линейной алгебры, теории групп и некоторых других разделов математики. Предисловие
Основные обозначения и соглашения
Введение
Многообразия и тензорные поля
Дифференциальные формы и интегрирование
Метрика
Связность на векторном расслоении и расслоении реперов
Аффинная геометрия. Локальное рассмотрение
Криволинейные координаты в R³
Группы Ли
Группы преобразований
Гомотопии и фундаментальная группа
Накрытия
Главные и ассоциированные расслоения
Связности на главных и ассоциированных расслоениях
Приложения в квантовой механике
Векторные поля Киллинга
Геодезические и экстремали
Симплектические и пуассоновы многообразия
Принцип наименьшего действия
Канонический формализм
Основы общей теории относительности
Гамильтонова формулировка общей теории относительности
Скалярные и калибровочные поля
Алгебры Клиффорда
Спиноры
Геометрия поверхностей
Поверхности постоянной кривизны
Лоренцевы поверхности с одним вектором Киллинга
Римановы поверхности с одним вектором Киллинга
Двумерная гравитация
Сплетенные решения в общей теории относительности
Решение Шварцшильда
Геометрическая теория дефектов
Дополнение
Библиография