М.: Научно-образовательный центр при МИАН, 2016. — 1570 с.
Третья, дополненная версия расширенного варианта курса лекций
“Геометрические методы в математической физике”, читавшегося в
течении 2008-2016 годов в научно-образовательном центре при МИАН
им. В.А. Стеклова. Основная цель курса состоит в изложении
некоторых аспектов современной дифференциальной геометрии и ее
приложений в математической физике. Большая часть материала
посвящена изложению тех разделов геометрии, которые уже нашли
применение в математической физике. Изложение ведется параллельно
на бескоординатном языке, принятом в современных курсах, и в
координатах, что необходимо для приложений.
От читателя требуется достаточная математическая подготовка:
предполагается, что он знаком с основами общей топологии, линейной
алгебры, теории групп и некоторых других разделов математики.
Предисловие
Основные обозначения и соглашения
Введение
Многообразия и тензорные поля
Дифференциальные формы и интегрирование
Метрика
Связность на векторном расслоении и расслоении реперов
Аффинная геометрия. Локальное рассмотрение
Криволинейные координаты в R3
Группы Ли
Группы преобразований
Гомотопии и фундаментальная группа
Накрытия
Главные и ассоциированные расслоения
Связности на главных и ассоциированных расслоениях
Приложения в квантовой механике
Векторные поля Киллинга
Геодезические и экстремали
Разложения кривизны и кручения
Симметрические пространства
Симплектические и пуассоновы многообразия
Принцип наименьшего действия
Канонический формализм в механике точечных частиц
Гамильтонова динамика частиц со связями
Основы общей теории относительности
Гамильтонова формулировка общей теории относительности
Скалярные и калибровочные поля
Алгебры Клиффорда
Спиноры
Геометрия поверхностей
Поверхности постоянной кривизны
Лоренцевы поверхности с одним вектором Киллинга
Римановы поверхности с одним вектором Киллинга
Двумерная гравитация
Сплетенные решения в общей теории относительности
Решение Шварцшильда
Космология
Геометрическая теория дефектов
Дополнение
Библиография
Основные обозначения и соглашения
Введение
Многообразия и тензорные поля
Дифференциальные формы и интегрирование
Метрика
Связность на векторном расслоении и расслоении реперов
Аффинная геометрия. Локальное рассмотрение
Криволинейные координаты в R3
Группы Ли
Группы преобразований
Гомотопии и фундаментальная группа
Накрытия
Главные и ассоциированные расслоения
Связности на главных и ассоциированных расслоениях
Приложения в квантовой механике
Векторные поля Киллинга
Геодезические и экстремали
Разложения кривизны и кручения
Симметрические пространства
Симплектические и пуассоновы многообразия
Принцип наименьшего действия
Канонический формализм в механике точечных частиц
Гамильтонова динамика частиц со связями
Основы общей теории относительности
Гамильтонова формулировка общей теории относительности
Скалярные и калибровочные поля
Алгебры Клиффорда
Спиноры
Геометрия поверхностей
Поверхности постоянной кривизны
Лоренцевы поверхности с одним вектором Киллинга
Римановы поверхности с одним вектором Киллинга
Двумерная гравитация
Сплетенные решения в общей теории относительности
Решение Шварцшильда
Космология
Геометрическая теория дефектов
Дополнение
Библиография