Учебное пособие. — Казань: Казанский государственный университет,
2014. — 352 с. — ISBN 978-5-00019-193-4.
Излагаются все основные вопросы, включаемые в программу
университетского курса линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Книга рассчитана на студентов младших курсов, обучающихся по направлениям прикладной математики и информатики. Содержание
Предисловие
Комплексные числа
Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными числами
Операция сопряжения, модуль комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа
Многочлены
Алгебраические операции над многочленами
Корни многочленов
Многочлены с действительными коэффициентами
Определители второго и третьего порядков
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Свойства определителей третьего порядка
Введение в аналитическую геометрию
Векторы. Алгебраические операции над векторами
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение
Смешанное произведение векторов
Примеры задач, решаемых методами векторной алгебры
Различные формы уравнения прямой на плоскости
Задачи о взаимном расположении прямых и точек на плоскости
Различные формы уравнения плоскости
Уравнения прямой в пространстве
Задачи о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей
Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Перестановки
Определители произвольного порядка
Основные свойства определителей
Примеры вычисления определителей
Крамеровские системы линейных уравнений
Матрицы. Операции над матрицами
Обратная матрица
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Определитель произведения матриц
Некоторые классы матриц
Блочные матрицы
Линейные пространства
Пространства Rn и Cn
Общие линейные пространства
Линейная зависимость векторов
Линейно независимые системы векторов
Ранг системы векторов
Конечномерные линейные пространства. Базисы
Замена базиса
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства Rn и Cn
Общие евклидовы пространства
Неравенство Коши — Буняковского
Матрица Грама
Ортогональные системы векторов
Процесс ортогонализации Грама — Шмидта
Разложение вектора по базису евклидова пространства
Вычисление скалярного произведения
Взаимный базис
Примеры ортогональных базисов
Подпространства
Сумма и пересечение подпространств
Размерность суммы подпространств
Ортогональная проекция вектора на подпространство
Ортогональное разложение евклидова пространства
Линейные операторы и матрицы
Линейные операторы. Действия над операторами
Обратный оператор
Оператор разложения по базису
Изоморфизм конечномерных пространств
Образ оператора. Ядро оператора
Матрица оператора
Матрица обратного оператора
Линейное пространство операторов
Ранг матрицы
Элементарный метод вычисления ранга матрицы
Линейные уравнения
Общее решение линейного уравнения
Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений
Построение общего решения системы линейных алгебраических уравнений
Строение линейного оператора
Инвариантные подпространства
Собственные числа и собственные векторы
Характеристический полином и характеристические числа
Признак линейной независимости собственных векторов
Геометрическая и алгебраическая кратности собственных чисел
Операторы простой структуры
Инварианты оператора
Инвариантные функции операторного аргумента
Инвариантные подпространства оператора в вещественном пространстве
Приведение матрицы оператора к треугольной форме
Нильпотентный оператор
Приведение матрицы оператора к жордановой форме
Корневые и циклические подпространства
Теорема Кэли — Гамильтона
Сходящиеся матрицы
Операторы в евклидовом пространстве
Линейные функционалы
Сопряженный оператор
Вычисление матрицы оператора в евклидовом пространстве
Линейные уравнения в евклидовом пространстве
Псевдорешение линейного уравнения
Самосопряженный и косоэрмитов операторы
Неотрицательный и положительно определенный операторы
Унитарный оператор
Нормальный оператор
Некоторые свойства собственных чисел самосопряженного оператора
Применения вариационного описания собственных чисел
Корень из самосопряженного неотрицательного оператора
Обобщенная проблема собственных значений
Сингулярные базисы и сингулярные числа оператора
Полярное разложение оператора
Евклидово пространство операторов
Операторы в вещественном евклидовом пространстве
Общие сведения
Вещественное евклидово пространство операторов
Структура нормального оператора
Структура ортогонального оператора
Матрицы вращения и отражения
Квадратичные формы и квадратичные функции
Канонический вид квадратичной формы
Закон инерции квадратичных форм
Положительно определенные квадратичные формы
Квадратичная функция и ее инварианты
Приведенная форма квадратичной функции
Кривые второго порядка
Приведение уравнения кривой к простейшему виду
Геометрические свойства кривых второго порядка
Поверхности второго порядка
Приведение уравнения поверхности к простейшему виду
Геометрические свойства поверхностей второго порядка
Гиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация
Итерационные методы
Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Элементы общей теории итерационных методов
Метод Якоби решения задач на собственные значения
Исследование сходимости метода Якоби
Нормы векторов и матриц
Основные неравенства
Нормы на пространстве Cn
Нормы на пространстве матриц
Элементы теории возмущений
Неотрицательные матрицы
Простейшие свойства неотрицательных матриц
Положительные матрицы
Неотрицательные матрицы
Неразложимые неотрицательные матрицы
Предметный указатель
Литература
Книга рассчитана на студентов младших курсов, обучающихся по направлениям прикладной математики и информатики. Содержание
Предисловие
Комплексные числа
Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными числами
Операция сопряжения, модуль комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа
Многочлены
Алгебраические операции над многочленами
Корни многочленов
Многочлены с действительными коэффициентами
Определители второго и третьего порядков
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Свойства определителей третьего порядка
Введение в аналитическую геометрию
Векторы. Алгебраические операции над векторами
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение
Смешанное произведение векторов
Примеры задач, решаемых методами векторной алгебры
Различные формы уравнения прямой на плоскости
Задачи о взаимном расположении прямых и точек на плоскости
Различные формы уравнения плоскости
Уравнения прямой в пространстве
Задачи о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей
Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Перестановки
Определители произвольного порядка
Основные свойства определителей
Примеры вычисления определителей
Крамеровские системы линейных уравнений
Матрицы. Операции над матрицами
Обратная матрица
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Определитель произведения матриц
Некоторые классы матриц
Блочные матрицы
Линейные пространства
Пространства Rn и Cn
Общие линейные пространства
Линейная зависимость векторов
Линейно независимые системы векторов
Ранг системы векторов
Конечномерные линейные пространства. Базисы
Замена базиса
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства Rn и Cn
Общие евклидовы пространства
Неравенство Коши — Буняковского
Матрица Грама
Ортогональные системы векторов
Процесс ортогонализации Грама — Шмидта
Разложение вектора по базису евклидова пространства
Вычисление скалярного произведения
Взаимный базис
Примеры ортогональных базисов
Подпространства
Сумма и пересечение подпространств
Размерность суммы подпространств
Ортогональная проекция вектора на подпространство
Ортогональное разложение евклидова пространства
Линейные операторы и матрицы
Линейные операторы. Действия над операторами
Обратный оператор
Оператор разложения по базису
Изоморфизм конечномерных пространств
Образ оператора. Ядро оператора
Матрица оператора
Матрица обратного оператора
Линейное пространство операторов
Ранг матрицы
Элементарный метод вычисления ранга матрицы
Линейные уравнения
Общее решение линейного уравнения
Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений
Построение общего решения системы линейных алгебраических уравнений
Строение линейного оператора
Инвариантные подпространства
Собственные числа и собственные векторы
Характеристический полином и характеристические числа
Признак линейной независимости собственных векторов
Геометрическая и алгебраическая кратности собственных чисел
Операторы простой структуры
Инварианты оператора
Инвариантные функции операторного аргумента
Инвариантные подпространства оператора в вещественном пространстве
Приведение матрицы оператора к треугольной форме
Нильпотентный оператор
Приведение матрицы оператора к жордановой форме
Корневые и циклические подпространства
Теорема Кэли — Гамильтона
Сходящиеся матрицы
Операторы в евклидовом пространстве
Линейные функционалы
Сопряженный оператор
Вычисление матрицы оператора в евклидовом пространстве
Линейные уравнения в евклидовом пространстве
Псевдорешение линейного уравнения
Самосопряженный и косоэрмитов операторы
Неотрицательный и положительно определенный операторы
Унитарный оператор
Нормальный оператор
Некоторые свойства собственных чисел самосопряженного оператора
Применения вариационного описания собственных чисел
Корень из самосопряженного неотрицательного оператора
Обобщенная проблема собственных значений
Сингулярные базисы и сингулярные числа оператора
Полярное разложение оператора
Евклидово пространство операторов
Операторы в вещественном евклидовом пространстве
Общие сведения
Вещественное евклидово пространство операторов
Структура нормального оператора
Структура ортогонального оператора
Матрицы вращения и отражения
Квадратичные формы и квадратичные функции
Канонический вид квадратичной формы
Закон инерции квадратичных форм
Положительно определенные квадратичные формы
Квадратичная функция и ее инварианты
Приведенная форма квадратичной функции
Кривые второго порядка
Приведение уравнения кривой к простейшему виду
Геометрические свойства кривых второго порядка
Поверхности второго порядка
Приведение уравнения поверхности к простейшему виду
Геометрические свойства поверхностей второго порядка
Гиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация
Итерационные методы
Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Элементы общей теории итерационных методов
Метод Якоби решения задач на собственные значения
Исследование сходимости метода Якоби
Нормы векторов и матриц
Основные неравенства
Нормы на пространстве Cn
Нормы на пространстве матриц
Элементы теории возмущений
Неотрицательные матрицы
Простейшие свойства неотрицательных матриц
Положительные матрицы
Неотрицательные матрицы
Неразложимые неотрицательные матрицы
Предметный указатель
Литература