Учебник. — СПб.: Лань, 2013. — 416 с.: ил.
В книге изложены основные разделы современного курса теории
вероятностей и математической статистики, включая условные
распределения, основные предельные теоремы, метод
характеристических функций, принципы статистического оценивания,
методы построения доверительных интервалов, методы проверки
статистических гипотез, регрессионный анализ и бинарная регрессия.
Книга предназначена для студентов, изучающих методы теории
вероятностей, математической статистики.
Книга включает в себя:
Предисловие
Вероятностное пространство
Случайные события
Аксиоматика
Свойства вероятностей
Классическое определение вероятности
Геометрические вероятности. Задача о встрече. Парадокс Бертрана. Задача Бюффона
Условные вероятности
Независимость событий
Формула полной вероятности. Формулы Байеса
Схема Бернулли
Схема Бернулли. Биномиальное и полиномиальное распределения
Теорема Пуассона
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
Закон больших чисел
Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов
Моделирование случайных величин
Цепи Маркова
Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова
Теорема о предельных вероятностях для цепей Маркова
Основные вероятностные пространства
Полуалгебры. Теоремы о продолжении меры
Примеры измеримых пространств
Вероятностное пространство (R, B(R), P)
Классификация вероятностных мер
Конечномерное вероятностное пространство (Rn, B(Rn), P)
Вероятностное пространство (R∞, B(R∞), P)
Случайные величины
Распределения случайных величин
Свойство измеримости
Случайные элементы со значениями в конечномерном пространстве R^k
Функции распределения в конечномерных пространствах
Независимые случайные величины
Математическое ожидание как интеграл Лебега
Определение и свойства математического ожидания
Предельный переход под знаком интеграла Лебега
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
Теорема о замене переменной под знаком интеграла Лебега
Формулы для вычисления математического ожидания
Моменты случайных величин. Дисперсия
Неравенство Чебышева. Другие неравенства
Ковариация, корреляция
Задача о наилучшем линейном прогнозе
Условные распределения
Условные математические ожидания простых случайных величин
Условные математические ожидания произвольных случайных величин
Многомерное нормальное распределение
Некоторые распределения
Дискретные распределения
Непрерывные распределения
Виды сходимостей случайных величин
Сходимости по вероятности, почти наверное, по распределению, в среднем, в основном
Критерий сходимости почти наверное. Теорема Бореля–Кантелли
Эквивалентность сходимости в основном и сходимости по распределению. Свойства сходимости в основном
Характеристические функции
Свойства характеристических функций
Примеры характеристических функций
Формулы обращения
Характеристические функции для нормального распределения
Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем
Предельные теоремы
Закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин
Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин и случайных векторов
Закон больших чисел для независимых произвольно распределенных случайных величин. Схема серий
Центральная предельная теорема для независимых произвольно распределенных случайных величин. Схема серий
Теорема Линдеберга. Теорема Ляпунова
Усиленный закон больших чисел для произвольно распределенных независимых случайных величин
Усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных независимых случайных величин
Выборочное пространство
Выборка. Выборочное пространство
Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма
Теорема Гливенко–Кантелли. Теорема о предельном распределении эмпирических вероятностей
Описательная статистика
Статистики. Предельные распределения
Статистики первого типа
Теоремы непрерывности
Предельное распределение статистик первого типа
Предельное распределение статистики Пирсона
Гамма-распределение
Критерии согласия для простых гипотез
Критерий согласия Пирсона
Критерий согласия Колмогорова
Точечные оценки
Свойства точечных оценок
Методы построения точечных оценок
Достаточные статистики
Теорема Неймана–Фишера. Теорема Колмогорова
Неравенство Рао–Крамера
Доверительные интервалы
Асимптотические доверительные интервалы
Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности
Распределение Стьюдента
Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности
Проверка статистических гипотез
Проверка двух простых статистических гипотез
Простые гипотезы о параметрах нормального и биномиального распределений
Гипотезы о параметрах распределений для сложных альтернатив
Распределение Фишера
Критерии однородности для двух независимых выборок из нормально распределенной генеральной совокупности
Критерий однородности Вилкоксона и Манна–Уитни
Непараметрические критерии анализа парных повторных наблюдений
Однофакторный дисперсионный анализ
Критерий однородности Колмогорова–Смирнова
Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кенделла
Коэффициент корреляции Пирсона
Критерий согласия хи-квадрат для сложных гипотез
Таблицы сопряженности
Регрессионный анализ
Спецификация модели
Метод наименьших квадратов
Свойство оценок метода наименьших квадратов
Построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез
Бинарная регрессия
Дискретные данные
Модель линейной вероятности
Логит и пробит модели бинарного выбора
Сравнение значений функций нормального и логистического распределений
Оценивание параметров в логит и пробит моделях
Численные методы нахождения оценок в логит и пробит моделях
Проверка гипотез о значимости параметров логит и пробит моделей бинарного выбора
Критерий Вальда
Критерий отношения правдоподобия
Критерии адекватности моделей бинарной регрессии
Приложения
Таблица значений функции стандартного нормального распределения
Таблица квантилей χ2α,n уровня α распределения χ2 с n степенями свободы
Таблица квантилей tα,n уровня α распределения Стьюдента с n степенями свободы
Таблица квантилей Fα,n,m уровня α распределения Фишера с n и m степенями свободы
Таблицы квантилей статистики Вилкоксона
Таблица значений функции распределения Колмогорова
Литература
Вероятностное пространство
Случайные события
Аксиоматика
Свойства вероятностей
Классическое определение вероятности
Геометрические вероятности. Задача о встрече. Парадокс Бертрана. Задача Бюффона
Условные вероятности
Независимость событий
Формула полной вероятности. Формулы Байеса
Схема Бернулли
Схема Бернулли. Биномиальное и полиномиальное распределения
Теорема Пуассона
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
Закон больших чисел
Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов
Моделирование случайных величин
Цепи Маркова
Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова
Теорема о предельных вероятностях для цепей Маркова
Основные вероятностные пространства
Полуалгебры. Теоремы о продолжении меры
Примеры измеримых пространств
Вероятностное пространство (R, B(R), P)
Классификация вероятностных мер
Конечномерное вероятностное пространство (Rn, B(Rn), P)
Вероятностное пространство (R∞, B(R∞), P)
Случайные величины
Распределения случайных величин
Свойство измеримости
Случайные элементы со значениями в конечномерном пространстве R^k
Функции распределения в конечномерных пространствах
Независимые случайные величины
Математическое ожидание как интеграл Лебега
Определение и свойства математического ожидания
Предельный переход под знаком интеграла Лебега
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
Теорема о замене переменной под знаком интеграла Лебега
Формулы для вычисления математического ожидания
Моменты случайных величин. Дисперсия
Неравенство Чебышева. Другие неравенства
Ковариация, корреляция
Задача о наилучшем линейном прогнозе
Условные распределения
Условные математические ожидания простых случайных величин
Условные математические ожидания произвольных случайных величин
Многомерное нормальное распределение
Некоторые распределения
Дискретные распределения
Непрерывные распределения
Виды сходимостей случайных величин
Сходимости по вероятности, почти наверное, по распределению, в среднем, в основном
Критерий сходимости почти наверное. Теорема Бореля–Кантелли
Эквивалентность сходимости в основном и сходимости по распределению. Свойства сходимости в основном
Характеристические функции
Свойства характеристических функций
Примеры характеристических функций
Формулы обращения
Характеристические функции для нормального распределения
Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем
Предельные теоремы
Закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин
Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин и случайных векторов
Закон больших чисел для независимых произвольно распределенных случайных величин. Схема серий
Центральная предельная теорема для независимых произвольно распределенных случайных величин. Схема серий
Теорема Линдеберга. Теорема Ляпунова
Усиленный закон больших чисел для произвольно распределенных независимых случайных величин
Усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных независимых случайных величин
Выборочное пространство
Выборка. Выборочное пространство
Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма
Теорема Гливенко–Кантелли. Теорема о предельном распределении эмпирических вероятностей
Описательная статистика
Статистики. Предельные распределения
Статистики первого типа
Теоремы непрерывности
Предельное распределение статистик первого типа
Предельное распределение статистики Пирсона
Гамма-распределение
Критерии согласия для простых гипотез
Критерий согласия Пирсона
Критерий согласия Колмогорова
Точечные оценки
Свойства точечных оценок
Методы построения точечных оценок
Достаточные статистики
Теорема Неймана–Фишера. Теорема Колмогорова
Неравенство Рао–Крамера
Доверительные интервалы
Асимптотические доверительные интервалы
Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности
Распределение Стьюдента
Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности
Проверка статистических гипотез
Проверка двух простых статистических гипотез
Простые гипотезы о параметрах нормального и биномиального распределений
Гипотезы о параметрах распределений для сложных альтернатив
Распределение Фишера
Критерии однородности для двух независимых выборок из нормально распределенной генеральной совокупности
Критерий однородности Вилкоксона и Манна–Уитни
Непараметрические критерии анализа парных повторных наблюдений
Однофакторный дисперсионный анализ
Критерий однородности Колмогорова–Смирнова
Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кенделла
Коэффициент корреляции Пирсона
Критерий согласия хи-квадрат для сложных гипотез
Таблицы сопряженности
Регрессионный анализ
Спецификация модели
Метод наименьших квадратов
Свойство оценок метода наименьших квадратов
Построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез
Бинарная регрессия
Дискретные данные
Модель линейной вероятности
Логит и пробит модели бинарного выбора
Сравнение значений функций нормального и логистического распределений
Оценивание параметров в логит и пробит моделях
Численные методы нахождения оценок в логит и пробит моделях
Проверка гипотез о значимости параметров логит и пробит моделей бинарного выбора
Критерий Вальда
Критерий отношения правдоподобия
Критерии адекватности моделей бинарной регрессии
Приложения
Таблица значений функции стандартного нормального распределения
Таблица квантилей χ2α,n уровня α распределения χ2 с n степенями свободы
Таблица квантилей tα,n уровня α распределения Стьюдента с n степенями свободы
Таблица квантилей Fα,n,m уровня α распределения Фишера с n и m степенями свободы
Таблицы квантилей статистики Вилкоксона
Таблица значений функции распределения Колмогорова
Литература