Перевод с французского Е. И. Стечкиной. Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1965. -
424 с.
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила.
перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат.
по современной математике. Многие выпуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав.
большой интерес математиков всего мира. Настоящая книга посвящена функциям одного действительного переменного. Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Оглавление.
Введение.
Производные.
Первая производная.
Производная вектор-функции.
Линейность дифференцирования.
Производная произведения.
Производная обратной величины функции.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Производные числовых функций.
Теорема о конечных приращениях.
Теорема Ролля.
Теорема о конечных приращениях для числовых функций.
Теорема о конечных приращениях для вектор-функций.
Непрерывность производных.
Производные высших порядков.
Производные n-го порядка.
Формула Тейлора.
Выпуклые функции действительного переменного.
Определение выпуклых функций.
Семейства выпуклых функций.
Непрерывность и днфференцируемость выпуклых функций.
Критерии выпуклости.
Примитивные и интегралы.
Определение примитивных.
Существование примитивных.
Линейчатые функции.
Интегралы.
Свойства интегралов.
Интегральная форма остаточного члена в формуле Тейлора; примитивные высших порядков.
Интегралы на некомпактных интервалах.
Определение интеграла на некомпактном интервале.
Интегралы от положительных функций на некомпактном интервале.
Абсолютно сходящиеся интегралы.
Производные и интегралы функций, зависящих от параметра.
Интеграл от предела функций на компактном интервале.
Интеграл от предела функций на некомпактном интервале.
Нормально сходящиеся интегралы.
Производная по параметру интеграла на компактном интервале.
Производная но параметру интеграла на некомпактном интервале.
Перемена порядка интегрирования.
Элементарные функции.
Производные показательных и круговых функций.
Производные показательных функций; число е.
Производная функции log х.
Производные круговых функции.
Обратные круговые функции.
Комплексная показательная функция.
Свойства функции ez.
Комплексный логарифм.
Примитивные рациональных функций.
Комплексные круговые функции; гиперболические функции.
Разложения показательных и круговых функций и функций, с ними связанных.
1. Разложение действительной показательной функции.
2. Разложения комплексной показательной функции, функций cos х и sin х.
3. Разложение бинома.
4. Разложения функций log A, Arctg х и Arcsin х.
Исторический очерк.
Библиография.
Дифференциальные уравнения.
Теоремы существования.
Понятие дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения, имеющие в качестве решений примитивные линейчатых функций.
Существование приближенного решения.
Сравнение приближенных решений.
Существование и единственность решений липшицевых и локально липшицевых уравнений.
Непрерывность интегралов как функций от параметра.
Зависимость от начальных условий.
Линейные дифференциальные уравнения.
Существование интегралов линейного дифференциального уравнения.
Линейность интегралов линейного дифференциального уравнения.
Интегрирование линейного неоднородного уравнения.
Фундаментальные системы интегралов системы скалярных линейных дифференциальных уравнений.
Сопряженное уравнение.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения n-го порядка.
Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Исторический очерк.
Библиография.
Локальное исследование функций.
Сравнение функции на фильтрующемся множестве.
Отношения сравнения: I. Слабые отношения.
Отношения сравнения: II. Сильные отношения.
Замена переменных.
Отношения сравнения между строго положительными функциями.
Обозначения.
Асимптотические разложения.
Шкала сравнения.
Главные части и асимптотические разложения.
Суммы и произведения асимптотических разложений.
Композиция асимптотических разложений.
Асимптотические разложения с переменными коэффициентами.
Асимптотические разложения функций действительного переменного.
Интегрирование отношений сравнения: Слабые отношения.
Приложение: логарифмические признаки сходимости интегралов.
Интегрирование отношении сравнения: Сильные отношения.
Дифференцирование отношении сравнения.
Главная часть примитивной.
Асимптотическое разложение примитивной.
Применение к рядам с положительными членами.
Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Асимптотическое разложение частичных сумм ряда.
Асимптотическое разложение частичных произведений бесконечного произведения.
Приложение: признаки сходимости второго рода для рядов с положительными членами.
Тело Харди. Функции.
Тело Харди.
Расширение тела Харди.
Сравнение функций из тела Харди.
Функции.
Повторные показательные функции и повторные логарифмы.
Функция, обратная к функции.
Обобщенные разложения Тейлора. Формула суммирования Эйлера — Маклорена.
Обобщенные разложения Тейлора.
Операторы композиции в алгебре многочленов.
Многочлены Аппеля, соответствующие оператору композиции.
Производящий ряд многочленов Аппеля.
Многочлены Бернулли.
Операторы композиции над функциями действительного переменного.
Индикатриса оператора композиции.
Формула суммирования Эйлера — Маклорена.
Эйлеровы разложения тригонометрических функций к числа Бернулли.
Эйлерово разложение функции ctg.
Эйлерово разложение функции sin z.
Приложение к числам Бернулли.
Оценка остатка в формуле Эйлера — Маклорена.
Оценка остатка в формуле Эйлера — Маклорена.
Приложение к асимптотическим разложениям.
Исторический очерк.
Библиография.
Гамма -функция.
Гамма-функция в действительной области.
Определение гамма-функции.
Свойства гамма-функции.
Эйлеровы интегралы.
Гамма-функция в комплексной области.
Продолжение гамма-функции на С.
Формула дополнения и формула умножения Лежандра — Гаусса.
Разложение Стирлинга.
Исторический очерк.
Библиография.
Указатель обозначений.
Указатель терминов.
Словарь.
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила.
перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат.
по современной математике. Многие выпуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав.
большой интерес математиков всего мира. Настоящая книга посвящена функциям одного действительного переменного. Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Оглавление.
Введение.
Производные.
Первая производная.
Производная вектор-функции.
Линейность дифференцирования.
Производная произведения.
Производная обратной величины функции.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Производные числовых функций.
Теорема о конечных приращениях.
Теорема Ролля.
Теорема о конечных приращениях для числовых функций.
Теорема о конечных приращениях для вектор-функций.
Непрерывность производных.
Производные высших порядков.
Производные n-го порядка.
Формула Тейлора.
Выпуклые функции действительного переменного.
Определение выпуклых функций.
Семейства выпуклых функций.
Непрерывность и днфференцируемость выпуклых функций.
Критерии выпуклости.
Примитивные и интегралы.
Определение примитивных.
Существование примитивных.
Линейчатые функции.
Интегралы.
Свойства интегралов.
Интегральная форма остаточного члена в формуле Тейлора; примитивные высших порядков.
Интегралы на некомпактных интервалах.
Определение интеграла на некомпактном интервале.
Интегралы от положительных функций на некомпактном интервале.
Абсолютно сходящиеся интегралы.
Производные и интегралы функций, зависящих от параметра.
Интеграл от предела функций на компактном интервале.
Интеграл от предела функций на некомпактном интервале.
Нормально сходящиеся интегралы.
Производная по параметру интеграла на компактном интервале.
Производная но параметру интеграла на некомпактном интервале.
Перемена порядка интегрирования.
Элементарные функции.
Производные показательных и круговых функций.
Производные показательных функций; число е.
Производная функции log х.
Производные круговых функции.
Обратные круговые функции.
Комплексная показательная функция.
Свойства функции ez.
Комплексный логарифм.
Примитивные рациональных функций.
Комплексные круговые функции; гиперболические функции.
Разложения показательных и круговых функций и функций, с ними связанных.
1. Разложение действительной показательной функции.
2. Разложения комплексной показательной функции, функций cos х и sin х.
3. Разложение бинома.
4. Разложения функций log A, Arctg х и Arcsin х.
Исторический очерк.
Библиография.
Дифференциальные уравнения.
Теоремы существования.
Понятие дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения, имеющие в качестве решений примитивные линейчатых функций.
Существование приближенного решения.
Сравнение приближенных решений.
Существование и единственность решений липшицевых и локально липшицевых уравнений.
Непрерывность интегралов как функций от параметра.
Зависимость от начальных условий.
Линейные дифференциальные уравнения.
Существование интегралов линейного дифференциального уравнения.
Линейность интегралов линейного дифференциального уравнения.
Интегрирование линейного неоднородного уравнения.
Фундаментальные системы интегралов системы скалярных линейных дифференциальных уравнений.
Сопряженное уравнение.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения n-го порядка.
Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Исторический очерк.
Библиография.
Локальное исследование функций.
Сравнение функции на фильтрующемся множестве.
Отношения сравнения: I. Слабые отношения.
Отношения сравнения: II. Сильные отношения.
Замена переменных.
Отношения сравнения между строго положительными функциями.
Обозначения.
Асимптотические разложения.
Шкала сравнения.
Главные части и асимптотические разложения.
Суммы и произведения асимптотических разложений.
Композиция асимптотических разложений.
Асимптотические разложения с переменными коэффициентами.
Асимптотические разложения функций действительного переменного.
Интегрирование отношений сравнения: Слабые отношения.
Приложение: логарифмические признаки сходимости интегралов.
Интегрирование отношении сравнения: Сильные отношения.
Дифференцирование отношении сравнения.
Главная часть примитивной.
Асимптотическое разложение примитивной.
Применение к рядам с положительными членами.
Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Асимптотическое разложение частичных сумм ряда.
Асимптотическое разложение частичных произведений бесконечного произведения.
Приложение: признаки сходимости второго рода для рядов с положительными членами.
Тело Харди. Функции.
Тело Харди.
Расширение тела Харди.
Сравнение функций из тела Харди.
Функции.
Повторные показательные функции и повторные логарифмы.
Функция, обратная к функции.
Обобщенные разложения Тейлора. Формула суммирования Эйлера — Маклорена.
Обобщенные разложения Тейлора.
Операторы композиции в алгебре многочленов.
Многочлены Аппеля, соответствующие оператору композиции.
Производящий ряд многочленов Аппеля.
Многочлены Бернулли.
Операторы композиции над функциями действительного переменного.
Индикатриса оператора композиции.
Формула суммирования Эйлера — Маклорена.
Эйлеровы разложения тригонометрических функций к числа Бернулли.
Эйлерово разложение функции ctg.
Эйлерово разложение функции sin z.
Приложение к числам Бернулли.
Оценка остатка в формуле Эйлера — Маклорена.
Оценка остатка в формуле Эйлера — Маклорена.
Приложение к асимптотическим разложениям.
Исторический очерк.
Библиография.
Гамма -функция.
Гамма-функция в действительной области.
Определение гамма-функции.
Свойства гамма-функции.
Эйлеровы интегралы.
Гамма-функция в комплексной области.
Продолжение гамма-функции на С.
Формула дополнения и формула умножения Лежандра — Гаусса.
Разложение Стирлинга.
Исторический очерк.
Библиография.
Указатель обозначений.
Указатель терминов.
Словарь.