Навчальний посiбник для студентiв спецiальностей «математика»,
«прикладна математика», «статистика». — Ужгород, 2013. — 180 с.
Елементи теорії множин
Поняття множини. Операцiї над множинами.
Монотоннi класи множин. Принцип двоїстостi.
Злiченнi множини. Властивостi злiченних множин. Незлiченнi множини.
Еквiвалентнi множини та їх властивостi.
Потужнiсть множини. Множини потужностi континуум.
Системи множин. Пiвкiльце, кiльце, алгебра.
σ-кiльця та σ-алгебри множин. Властивостi.
Породженi класи множин. Борелiвськi множини.
Елементи теорії міри
Мiра елементарних множин. Основнi властивостi.
Функцiї множин. Абстрактна мiра. Властивостi.
Продовження мiри. Теорема Каратеодорi про продовження мiри.
Продовження мiри за Лебегом.
Вимiрнi за Лебегом множини. Властивостi мiри Лебега.
Мiра Лебега на R, Rn.
Вимірні функції
Вимiрнi функцiї та їх властивостi.
Еквiвалентнi функцiї.
Послiдовностi вимiрних функцiй.
Рiзнi види збiжностi послiдовностi вимiрних функцiй та зв’язок мiж ними.
Теорема Єгорова.
Інтеграл лебега
Поняття iнтеграла Лебега вiд простих функцiй.
Нтегрування за Лебегом простих функцiй. Властивостi iнтеграла Лебега для простих функцiй.
Загальне означення iнтеграла Лебега на множинi скiнченної мiри.
Σ-адитивнiсть iнтеграла Лебега.
Нерiвнiсть Чебишева.
Абсолютна неперервнiсть iнтеграла Лебега.
Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега.
Iнтеграл Лебега по множинi нескiнченної мiри.
Порiвняння iнтеграла Лебега з iнтегралом Рiмана.
Добуток мiр. Теорема Фубiнi.
Функції обмеженої зміни. Інтеграл стільт'Єса
Функцiї обмеженої варiацiї. Основнi властивостi.
Мiра Лебега-Стiльт’єса.
Iнтеграл Лебега-Стiльт’єса. Основнi властивостi.
Абсолютно неперервнi функцiї. Абсолютна неперервнiсть i сингулярнiсть мiр.
Теорема Радона-Никодима.
Метричні простори
Нерiвностi Кошi-Буняковського, Кошi-Гельдера, Мiнковського.
Означення метрики, метричного простору.
Приклади метричних просторiв.
Збiжнiсть i фундаментальнiсть у метричних просторах. Повнотаметричного простору.
Топологiя в метричному просторi(внутрiшнi, межовi, граничнi, iзольованi та точки дотику). Замикання множини. Вiдкритi i замкненi
Множини у метричних просторах.
Компактнiсть у метричних просторах. Критерiї компактностi.
Цiлком обмеженi множини в метричних просторах. Критерiй компактностi Хаусдорфа.
Компактнiсть у просторi C[a,b]. Теорема Арцела.
Оператор стиску, його властивостi.
Нерухома точка стискаючого вiдображення(оператора стиску). Теорема Банаха.
Застосування методу послiдовних наближень до розв’язування алгебраїчних, диференцiальних, iнтегральних рiвнянь.
Зв’язок мiж точнiстю наближення до розв’язку рiвняння та кiлькiстю iтерацiй.
Збiжнiсть у метричних просторах. Вiдкритi i замкненi множини у метричних просторах. Компактнiсть множини
Принцип стискаючих вiдображень. Теорема Банаха
Лінійні нормовані простори. Збіжність у нормованих просторах
Лiнiйний простiр. Пiдпростiр лiнiйного простору.
Зоморфiзм у лiнiйних просторах.
Лiнiйна залежнiсть i незалежнiсть.
Базис лiнiйного простору. Розмiрнiсть.
Означення норми i нормованого простору.
Збiжнiсть у нормованих просторах.
Повнота нормованого простору.
Гільбертів простір
Поняття евклiдового простору, гiльбертового простору.
Властивостi скалярного добутку.
Нерiвнiсть Кошi-Буняковського.
Снування ортогональних базисiв, ортогоналiзацiя.
Iзоморфiзм гiльбертових просторiв.
Пiдпростори, ортогональнi доповнення, лiнiйний многовид.
Проекцiя елемента на пiдпростiр гiльбертового простору.
Лінійні функціонали і лінійні оператори. Простори операторів
Лiнiйнi неперевнi функцiонали. Норма функцiонала.
Лiнiйнi неперевнi оператори. Норма оператора.
Спряженi простори. Сильна топологiя в спряженому просторi.
Слабка топологiя i слабка збiжнiсть в лiнiйному топологiчному просторi.
Слабка топологiя в спряженому просторi.
Приклади лiнiйних функцiоналiв i лiнiйних операторiв.
Простiр операторiв. Обернений оператор, оборотнiсть.
Спряжені і компактні оператори. Власні значення і власні вектори оператора. Спектр і резольвента
Спряженi i самоспряженi оператори.
Компактнi оператори.
Власнi значення i власнi вектори.
Резольвента.
Спектр. Класифiкацiя точок спектра.
Інтегральні рівняння
Означення та класифiкацiя iнтегральних рiвнянь.
Повторнi ядра та резольвента iнтегрального рiвняння. Метод резольвент.
Метод послiдовних наближень розв’язування iнтегральних рiвнянь.
Розв’язування iнтегральних рiвнянь з виродженими ядрами методом їх зведення до системи алгебраїчних рiвнянь.
Метод розв’язування iнтегральних рiвнянь Вольтерра зведенням їхдо диференцiальних рiвнянь.
Симетричнi ядра. Власнi числа та власнi функцiї симетричного ядра. Розв’язування iнтегральних рiвнянь з симетричними ядрами.
Теореми Фредгольма для iнтегральних рiвнянь.
Метод резольвент розв’язування iнтегральних рiвнянь
Метод послiдовних наближень розв’язування iнтегральних рiвнянь
Розв’язування iнтегральних рiвнянь з виродженими ядрами методом зведення їх до системи алгебраїчних рiвнянь
Метод розв’язування iнтегральних рiвнянь Вольтерра зведенням їх до диференцiальних
Iнтегральнi рiвняння iз симетричними ядрами
Теореми Фредгольма для iнтегральних рiвнянь
Узагальнені функції
Простiр основних функцiй D (r) та збiжнiсть в ньому.
Означення узагальненої функцiї. Регулярнi та сингулярнi узагальненi функцiї.
Носiї основної та узагальненої функцiй.
Збiжнiсть в просторi узагальнених функцiй D0(R).
Простiр основних функцiй повiльного росту S(R) та збiжнiсть в ньому.
Лiтература
Поняття множини. Операцiї над множинами.
Монотоннi класи множин. Принцип двоїстостi.
Злiченнi множини. Властивостi злiченних множин. Незлiченнi множини.
Еквiвалентнi множини та їх властивостi.
Потужнiсть множини. Множини потужностi континуум.
Системи множин. Пiвкiльце, кiльце, алгебра.
σ-кiльця та σ-алгебри множин. Властивостi.
Породженi класи множин. Борелiвськi множини.
Елементи теорії міри
Мiра елементарних множин. Основнi властивостi.
Функцiї множин. Абстрактна мiра. Властивостi.
Продовження мiри. Теорема Каратеодорi про продовження мiри.
Продовження мiри за Лебегом.
Вимiрнi за Лебегом множини. Властивостi мiри Лебега.
Мiра Лебега на R, Rn.
Вимірні функції
Вимiрнi функцiї та їх властивостi.
Еквiвалентнi функцiї.
Послiдовностi вимiрних функцiй.
Рiзнi види збiжностi послiдовностi вимiрних функцiй та зв’язок мiж ними.
Теорема Єгорова.
Інтеграл лебега
Поняття iнтеграла Лебега вiд простих функцiй.
Нтегрування за Лебегом простих функцiй. Властивостi iнтеграла Лебега для простих функцiй.
Загальне означення iнтеграла Лебега на множинi скiнченної мiри.
Σ-адитивнiсть iнтеграла Лебега.
Нерiвнiсть Чебишева.
Абсолютна неперервнiсть iнтеграла Лебега.
Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега.
Iнтеграл Лебега по множинi нескiнченної мiри.
Порiвняння iнтеграла Лебега з iнтегралом Рiмана.
Добуток мiр. Теорема Фубiнi.
Функції обмеженої зміни. Інтеграл стільт'Єса
Функцiї обмеженої варiацiї. Основнi властивостi.
Мiра Лебега-Стiльт’єса.
Iнтеграл Лебега-Стiльт’єса. Основнi властивостi.
Абсолютно неперервнi функцiї. Абсолютна неперервнiсть i сингулярнiсть мiр.
Теорема Радона-Никодима.
Метричні простори
Нерiвностi Кошi-Буняковського, Кошi-Гельдера, Мiнковського.
Означення метрики, метричного простору.
Приклади метричних просторiв.
Збiжнiсть i фундаментальнiсть у метричних просторах. Повнотаметричного простору.
Топологiя в метричному просторi(внутрiшнi, межовi, граничнi, iзольованi та точки дотику). Замикання множини. Вiдкритi i замкненi
Множини у метричних просторах.
Компактнiсть у метричних просторах. Критерiї компактностi.
Цiлком обмеженi множини в метричних просторах. Критерiй компактностi Хаусдорфа.
Компактнiсть у просторi C[a,b]. Теорема Арцела.
Оператор стиску, його властивостi.
Нерухома точка стискаючого вiдображення(оператора стиску). Теорема Банаха.
Застосування методу послiдовних наближень до розв’язування алгебраїчних, диференцiальних, iнтегральних рiвнянь.
Зв’язок мiж точнiстю наближення до розв’язку рiвняння та кiлькiстю iтерацiй.
Збiжнiсть у метричних просторах. Вiдкритi i замкненi множини у метричних просторах. Компактнiсть множини
Принцип стискаючих вiдображень. Теорема Банаха
Лінійні нормовані простори. Збіжність у нормованих просторах
Лiнiйний простiр. Пiдпростiр лiнiйного простору.
Зоморфiзм у лiнiйних просторах.
Лiнiйна залежнiсть i незалежнiсть.
Базис лiнiйного простору. Розмiрнiсть.
Означення норми i нормованого простору.
Збiжнiсть у нормованих просторах.
Повнота нормованого простору.
Гільбертів простір
Поняття евклiдового простору, гiльбертового простору.
Властивостi скалярного добутку.
Нерiвнiсть Кошi-Буняковського.
Снування ортогональних базисiв, ортогоналiзацiя.
Iзоморфiзм гiльбертових просторiв.
Пiдпростори, ортогональнi доповнення, лiнiйний многовид.
Проекцiя елемента на пiдпростiр гiльбертового простору.
Лінійні функціонали і лінійні оператори. Простори операторів
Лiнiйнi неперевнi функцiонали. Норма функцiонала.
Лiнiйнi неперевнi оператори. Норма оператора.
Спряженi простори. Сильна топологiя в спряженому просторi.
Слабка топологiя i слабка збiжнiсть в лiнiйному топологiчному просторi.
Слабка топологiя в спряженому просторi.
Приклади лiнiйних функцiоналiв i лiнiйних операторiв.
Простiр операторiв. Обернений оператор, оборотнiсть.
Спряжені і компактні оператори. Власні значення і власні вектори оператора. Спектр і резольвента
Спряженi i самоспряженi оператори.
Компактнi оператори.
Власнi значення i власнi вектори.
Резольвента.
Спектр. Класифiкацiя точок спектра.
Інтегральні рівняння
Означення та класифiкацiя iнтегральних рiвнянь.
Повторнi ядра та резольвента iнтегрального рiвняння. Метод резольвент.
Метод послiдовних наближень розв’язування iнтегральних рiвнянь.
Розв’язування iнтегральних рiвнянь з виродженими ядрами методом їх зведення до системи алгебраїчних рiвнянь.
Метод розв’язування iнтегральних рiвнянь Вольтерра зведенням їхдо диференцiальних рiвнянь.
Симетричнi ядра. Власнi числа та власнi функцiї симетричного ядра. Розв’язування iнтегральних рiвнянь з симетричними ядрами.
Теореми Фредгольма для iнтегральних рiвнянь.
Метод резольвент розв’язування iнтегральних рiвнянь
Метод послiдовних наближень розв’язування iнтегральних рiвнянь
Розв’язування iнтегральних рiвнянь з виродженими ядрами методом зведення їх до системи алгебраїчних рiвнянь
Метод розв’язування iнтегральних рiвнянь Вольтерра зведенням їх до диференцiальних
Iнтегральнi рiвняння iз симетричними ядрами
Теореми Фредгольма для iнтегральних рiвнянь
Узагальнені функції
Простiр основних функцiй D (r) та збiжнiсть в ньому.
Означення узагальненої функцiї. Регулярнi та сингулярнi узагальненi функцiї.
Носiї основної та узагальненої функцiй.
Збiжнiсть в просторi узагальнених функцiй D0(R).
Простiр основних функцiй повiльного росту S(R) та збiжнiсть в ньому.
Лiтература