М.: Издательство ЦПИ, 2009. - 176 с.
Задачник содержит более 1200 задач по всем основным разделам
функционального анализа, входящим в учебную программу
механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Все
задачи, в которых требуется что- то найти, снабжены ответами, а
некоторые из остальных задач — указаниями и комментариями. Для
студентов и аспирантов математических специальностей университетов.
Содержание.
Метрические пространства.
Основные понятия и свойства.
Последовательности в метрических пространствах. Полнота.
Сепарабельность метрических пространств.
Отображения метрических пространств.
Теорема о неподвижной точке.
Нормированные пространства.
Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств.
Множества и последовательности в нормированных пространствах. Подпространства.
Банаховы пространства.
Прямые суммы подпространств.
Сепарабельность нормированных пространств.
Гильбертовы пространства.
Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств.
Множества в гильбертовых пространствах.
Системы векторов в гильбертовых пространствах.
Компактные множества.
Свойства компактных множеств.
Компактные множества в конкретных нормированных пространствах.
Линейные непрерывные функционалы.
Основные свойства. Вычисление норм.
Теорема Хана-Банаха.
Сопряжённые пространства.
Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность.
Линейные операторы.
Определения и основные примеры операторов.
Различные свойства операторов.
Пространство операторов.
Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Слабая сходимость (основные свойства). Критерии слабой сходимости.
*-слабая сходимость в сопряжённом пространстве.
Различные виды сходимости в пространстве операторов.
Сопряжённые операторы.
Сопряжённые операторы в банаховом пространстве.
Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы.
Обратный оператор.
Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры.
Свойства обратимых операторов.
Метрические пространства.
Основные понятия и свойства.
Последовательности в метрических пространствах. Полнота.
Сепарабельность метрических пространств.
Отображения метрических пространств.
Теорема о неподвижной точке.
Нормированные пространства.
Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств.
Множества и последовательности в нормированных пространствах. Подпространства.
Банаховы пространства.
Прямые суммы подпространств.
Сепарабельность нормированных пространств.
Гильбертовы пространства.
Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств.
Множества в гильбертовых пространствах.
Системы векторов в гильбертовых пространствах.
Компактные множества.
Свойства компактных множеств.
Компактные множества в конкретных нормированных пространствах.
Линейные непрерывные функционалы.
Основные свойства. Вычисление норм.
Теорема Хана-Банаха.
Сопряжённые пространства.
Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность.
Линейные операторы.
Определения и основные примеры операторов.
Различные свойства операторов.
Пространство операторов.
Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Слабая сходимость (основные свойства). Критерии слабой сходимости.
*-слабая сходимость в сопряжённом пространстве.
Различные виды сходимости в пространстве операторов.
Сопряжённые операторы.
Сопряжённые операторы в банаховом пространстве.
Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы.
Обратный оператор.
Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры.
Свойства обратимых операторов.