М.: Наука, 1972. – 592 с.
Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу
элементарной математики. Теоретический материал включает изложение
наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры и элементарных
функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые
недостаточно полно освещены в учебной литературе. Значительная
часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных
экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для
этой книги.
Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы. Содержание Предисловие
Необходимые и достаточные условия
Высказывания
Отрицание
Неопределенные высказывания
Знаки общности и существования
Необходимые и достаточные условия
Обратная и противоположная теоремы
Конъюнкция и дизъюнкция
Некоторые приемы доказательства
Действительные числа
Рациональные числа
Свойства множества рациональных чисел
Примеры применения свойств рациональных чисел
Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел
Предел монотонной ограниченной последовательности
Свойства множества действительных чисел
Абсолютная величина
Числовая ось и координаты
Некоторые числовые множества
Неравенства
Определения
Основные свойства неравенств
Некоторые часто встречающиеся неравенства
Примеры
Два замечательных неравенства
Комплексные числа
Введение
Определение комплексного числа
Свойства действий
Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен и его корни
График квадратного трехчлена
Исследование квадратного трехчлена
Квадратные неравенства
Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена
Многочлены и алгебраические уравнения
Многочлен и его значения
Действия над многочленами
Алгебраическое уравнение и его корни
Функции и графики
Определение функции
График функции
Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность
Композиция функций
Обратная функция
Обратные тригонометрические функции
Линейные преобразования графика
Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств
Степенная, показательная и логарифмическая функции
Степень с натуральным показателем
Степенная функция с натуральным показателем
Арифметический корень
Степень с целым показателем
Степень с рациональным показателем
Степень с действительным показателем
Показательная и логарифмическая функции
Свойства логарифмов
Уравнения
Равенство, тождество, уравнение
Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнении. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений
Наиболее важные приемы преобразования и методы
Простейшие иррациональные уравнения
Логарифмические и показательные уравнения
Системы уравнений
Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием данной
Основные приемы и методы решения систем
Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
Системы симметрических алгебраических уравнений
Тригонометрические уравнения и системы уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнения вида siny(x)=a,y(sin x)=0 и аналогичные им
Уравнения, однородные относительно sin х и cos x
Введение вспомогательного угла
Метод замены неизвестного
Метод разложения на множители
Оценка левой и правой частей уравнения
Системы тригонометрических уравнений
Задачи по планиметрии
Прямоугольный треугольник
Правильный треугольник
Равнобедренный треугольник
Произвольный треугольник
Параллелограмм
Трапеция
Произвольный четырехугольник и многоугольник
Окружность
Задачи по стереометрии
Правильный тетраэдр
Правильная треугольная пирамида
Произвольная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида
Усеченная пирамида
Параллелепипед
Призма
Конус
Усеченный конус, цилиндр и шар
Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы. Содержание Предисловие
Необходимые и достаточные условия
Высказывания
Отрицание
Неопределенные высказывания
Знаки общности и существования
Необходимые и достаточные условия
Обратная и противоположная теоремы
Конъюнкция и дизъюнкция
Некоторые приемы доказательства
Действительные числа
Рациональные числа
Свойства множества рациональных чисел
Примеры применения свойств рациональных чисел
Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел
Предел монотонной ограниченной последовательности
Свойства множества действительных чисел
Абсолютная величина
Числовая ось и координаты
Некоторые числовые множества
Неравенства
Определения
Основные свойства неравенств
Некоторые часто встречающиеся неравенства
Примеры
Два замечательных неравенства
Комплексные числа
Введение
Определение комплексного числа
Свойства действий
Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен и его корни
График квадратного трехчлена
Исследование квадратного трехчлена
Квадратные неравенства
Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена
Многочлены и алгебраические уравнения
Многочлен и его значения
Действия над многочленами
Алгебраическое уравнение и его корни
Функции и графики
Определение функции
График функции
Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность
Композиция функций
Обратная функция
Обратные тригонометрические функции
Линейные преобразования графика
Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств
Степенная, показательная и логарифмическая функции
Степень с натуральным показателем
Степенная функция с натуральным показателем
Арифметический корень
Степень с целым показателем
Степень с рациональным показателем
Степень с действительным показателем
Показательная и логарифмическая функции
Свойства логарифмов
Уравнения
Равенство, тождество, уравнение
Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнении. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений
Наиболее важные приемы преобразования и методы
Простейшие иррациональные уравнения
Логарифмические и показательные уравнения
Системы уравнений
Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием данной
Основные приемы и методы решения систем
Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
Системы симметрических алгебраических уравнений
Тригонометрические уравнения и системы уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнения вида siny(x)=a,y(sin x)=0 и аналогичные им
Уравнения, однородные относительно sin х и cos x
Введение вспомогательного угла
Метод замены неизвестного
Метод разложения на множители
Оценка левой и правой частей уравнения
Системы тригонометрических уравнений
Задачи по планиметрии
Прямоугольный треугольник
Правильный треугольник
Равнобедренный треугольник
Произвольный треугольник
Параллелограмм
Трапеция
Произвольный четырехугольник и многоугольник
Окружность
Задачи по стереометрии
Правильный тетраэдр
Правильная треугольная пирамида
Произвольная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида
Усеченная пирамида
Параллелепипед
Призма
Конус
Усеченный конус, цилиндр и шар