Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарымсаков Т.А. Топологические полуполя

Ташкент: Изд-во СамГУ, 1960. — 51 с. В этой и нескольких следующих работах мы предполагаем изложить некоторые вопросы, связанные с изучением и приложением пространств функций. Эти вопросы возникли, отчасти, в результате изучения эргодических теорем теории вероятностей. В настоящей, вводной, статье вводится основное для всего последующего понятие топологического полуполя. В первом параграфе мы следуем, в основном, идеям, изложенным в статье М. Г. Крейна и М. А. Рутмана [5] и книге Л. В. Канторовича, Б. З. Вулиха, А. Г. Пинскера [3]. Отличительной чертой нашего изложения является то, что мы с самого начала используем умножение, требуя его частичную обратимость (отсюда — название "полуполе"). Кроме того, мы не предполагаем a priori рассматриваемое пространство E линейным топологическим пространством, хотя впоследствии (§ 2) выясняется, что из наших аксиом это следует. Второй параграф содержит исследование строения полуполей. Доказывается, в частности, теорема о вложимости произвольного полуполя в "тихоновское" полуполе R_Δ. Третий параграф содержит некоторые приложения к функциональному анализу. Предложения, доказываемые здесь, носят, в основном, иллюстративный характер. Их назначение — показать возможность и целесообразность привлечения полуполей к вопросам функционального анализа. Детальное изложение некоторых разделов функционального анализа на основе понятия полуполя авторы предполагают дать в последующих публикациях.