Содержание:
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные определения.
Свойства общего решения.
Теорема Коши.
Интегральные кривые.
Особое решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения вида у’ = f(х).
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Метод Бернулли.
Метод Лагранжа.
Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Условие тотальности.
Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’).
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Геометрическая интерпретация решений дифференциального
уравнения первого порядка.
Поле направлений.
Изоклины.
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера.
Ломаная Эйлера.
Уточненный метод Эйлера.
Метод Рунге – Кутта.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее
производных до порядка n-1 включительно.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами.
Структура общего решения.
Фундаментальная система решений.
Определитель Вронского.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Нормальные системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементы теории устойчивости.
Устойчивость по Ляпунову.
Точка покоя.
Теорема Ляпунова.
Классификация точек покоя.
Уравнения математической физики.
Уравнения в частных производных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка.
Классификация основных типов уравнений математической физики.
Уравнение колебаний струны.
Граничные, начальные и краевые условия.
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).
Решение задачи Коши методом Даламбера.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа.
Задача Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга.
Ряды.
Основные определения.
Свойства рядов.
Критерий Коши.
Ряды с неотрицательными членами.
Признак сравнения.
Признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак Коши.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные последовательности.
Область сходимости.
Функциональные ряды.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Признак Вейерштрасса.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды.
Теоремы Абеля.
Радиус сходимости.
Действия со степенными рядами.
Разложение функций в степенные ряды.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Ряды Фурье.
Тригонометрический ряд.
Коэффициенты Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье.
Элементы теории функций комплексной переменной.
Свойства функций комплексной переменной.
Основные трансцендентные функции.
Производная функций комплексной переменной.
Условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Теорема Коши.
Интегральная формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана.
Изолированные особые точки.
Теорема о вычетах.
Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа.
Свойства изображений.
Таблица изображений некоторых функций.
Теорема свертки и запаздывания.
Интеграл Дюамеля.
Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного
исчисления.
Криволинейные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода.
Свойства криволинейных интегралов первого рода.
Криволинейные интегралы второго рода.
Свойства криволинейных интегралов второго рода.
Формула Остроградского – Грина.
Поверхностные интегралы первого рода.
Свойства поверхностных интегралов первого рода.
Поверхностные интегралы второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Формула Гаусса – Остроградского.
Элементы теории поля.
Поток векторного поля.
Потенциал.
Формула Стокса.
Ротор.
Оператор Гамильтона.
Циркуляция.
Дивергенция.
Соленоидальное поле.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные определения.
Свойства общего решения.
Теорема Коши.
Интегральные кривые.
Особое решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения вида у’ = f(х).
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Метод Бернулли.
Метод Лагранжа.
Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Условие тотальности.
Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’).
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Геометрическая интерпретация решений дифференциального
уравнения первого порядка.
Поле направлений.
Изоклины.
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера.
Ломаная Эйлера.
Уточненный метод Эйлера.
Метод Рунге – Кутта.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее
производных до порядка n-1 включительно.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами.
Структура общего решения.
Фундаментальная система решений.
Определитель Вронского.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Нормальные системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементы теории устойчивости.
Устойчивость по Ляпунову.
Точка покоя.
Теорема Ляпунова.
Классификация точек покоя.
Уравнения математической физики.
Уравнения в частных производных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка.
Классификация основных типов уравнений математической физики.
Уравнение колебаний струны.
Граничные, начальные и краевые условия.
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).
Решение задачи Коши методом Даламбера.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа.
Задача Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга.
Ряды.
Основные определения.
Свойства рядов.
Критерий Коши.
Ряды с неотрицательными членами.
Признак сравнения.
Признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак Коши.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные последовательности.
Область сходимости.
Функциональные ряды.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Признак Вейерштрасса.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды.
Теоремы Абеля.
Радиус сходимости.
Действия со степенными рядами.
Разложение функций в степенные ряды.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Ряды Фурье.
Тригонометрический ряд.
Коэффициенты Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье.
Элементы теории функций комплексной переменной.
Свойства функций комплексной переменной.
Основные трансцендентные функции.
Производная функций комплексной переменной.
Условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Теорема Коши.
Интегральная формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана.
Изолированные особые точки.
Теорема о вычетах.
Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа.
Свойства изображений.
Таблица изображений некоторых функций.
Теорема свертки и запаздывания.
Интеграл Дюамеля.
Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного
исчисления.
Криволинейные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода.
Свойства криволинейных интегралов первого рода.
Криволинейные интегралы второго рода.
Свойства криволинейных интегралов второго рода.
Формула Остроградского – Грина.
Поверхностные интегралы первого рода.
Свойства поверхностных интегралов первого рода.
Поверхностные интегралы второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Формула Гаусса – Остроградского.
Элементы теории поля.
Поток векторного поля.
Потенциал.
Формула Стокса.
Ротор.
Оператор Гамильтона.
Циркуляция.
Дивергенция.
Соленоидальное поле.