М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 432 с.
Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и
интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме
кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся
решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами
для самостоятельной работы.
Оглавление:
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого
порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенныеотносительно производной.
Элементарные методы интегрирования.
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Зависимость решения от параметров.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме.
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные однородные уравнения.
Линейные неоднородные уравнения.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений.
Линейные однородные системы.
Линейные неоднородные системы.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами.
Краевая задача для линейного уравнения второго порядка.
Неоднородная краевая задача.
Краевая задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля).
Теория устойчивости.
Устойчивость по Ляпунову.
Методы исследования на устойчивость.
Фазовая плоскость.
Асимптотические методы.
Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимомупеременному.
Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения.
Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Линейные уравнения.
Квазилинейные уравнения.
Разрывные решения.
Вариационное исчисление.
Понятие функционала.
Вариация функционала.
Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума.
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Достаточные условия экстремума функционала.
Задача с подвижными границами.
Условный экстремум.
Интегральные уравнения.
Однородное уравнение Фредгольма II рода.
Неоднородное уравнение Фредгольма II рода.
Интегральные уравнения Вольтерра II рода.
Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенныеотносительно производной.
Элементарные методы интегрирования.
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Зависимость решения от параметров.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме.
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные однородные уравнения.
Линейные неоднородные уравнения.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений.
Линейные однородные системы.
Линейные неоднородные системы.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами.
Краевая задача для линейного уравнения второго порядка.
Неоднородная краевая задача.
Краевая задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля).
Теория устойчивости.
Устойчивость по Ляпунову.
Методы исследования на устойчивость.
Фазовая плоскость.
Асимптотические методы.
Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимомупеременному.
Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения.
Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Линейные уравнения.
Квазилинейные уравнения.
Разрывные решения.
Вариационное исчисление.
Понятие функционала.
Вариация функционала.
Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума.
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Достаточные условия экстремума функционала.
Задача с подвижными границами.
Условный экстремум.
Интегральные уравнения.
Однородное уравнение Фредгольма II рода.
Неоднородное уравнение Фредгольма II рода.
Интегральные уравнения Вольтерра II рода.
Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов.