Экзамен. КГЭУ (Казанский Государственный Энергетический
Университет). 3 семестр. Преподаватель - Липачева Е.В. 2011г.
Вопросы:
Числовые ряды, сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Геометрическая прогрессия.
Критерий Коши и необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд (доказательство расходимости).
Признаки сравнения сходимости рядов с положительными членами, простой и предельный (с доказательством).
Признаки Даламбера и Коши (с доказательством).
Интегральный признак сходимости (с доказательством). Ряд Дирихле.
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница (с доказательством).
Абсолютно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Условно сходящиеся ряды. Свойства условно сходящихся рядов. Теорема Римана.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости .
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (с доказательством).
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля об интервале сходимости степенного ряда (с доказательством).
Вторая теорема Абеля о степенных рядах и ее следствия (почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов).
Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Приложения степенных рядов.
Периодические функции, их свойства. Основная тригонометрическая система функций, доказательство ее ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье, вывод формул для коэффициентов Фурье.
Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций.
Условия Дирихле, основная теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Комплексная запись тригонометрического ряда Фурье (с доказательством).
Интеграл Фурье (с выводом).
Двойные интегралы. Возникновение и определение двойного интеграла.
Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Полярные координаты.
Тройные интегралы. Возникновение и определение тройного интеграла.
Свойства тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла.
Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Приложения двойных и тройных интегралов.
Криволинейные интегралы 1-го рода. Вычисление и свойства.
Приложения криволинейных интегралов 1-го рода.
Криволинейные интегралы 2-го рода, определение, физический смысл. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода.
Вычисление и приложения криволинейных интегралов 2-го рода.
Формула Грина, случай простой и произвольной области (с доказательством).
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, случай односвязной области (с доказательством), случай многосвязной области.
Поверхностные интегралы 1-го рода, сведение к двойному интегралу. Приложения.
Поверхностные интегралы 2-го рода, задача о вычислении потока. Определение поверхностного интеграла 2-го рода через проекции. Вычисление.
Формула Остроградского-Гаусса (с доказательством).
Формула Стокса (с доказательством).
Скалярные поля, поверхности и линии уровня. Производная по направлению.
Градиент и его свойства. Связь градиента с производной по направлению.
Векторные поля, векторные линии. Поток и циркуляция векторного поля.
Дивергенция векторного поля, определение, вычисление, физический смысл.
Ротор векторного поля, определение, вычисление, физический смысл.
Поле градиента, потенциальное поле. Соленоидальное поле. Их связь с ротором. Гармоническое (лапласово) поле.
Набла-оператор, дифференциальные операции 1-го и 2-го порядка теории поля.
Основные типы уравнений математической физики.
Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка с двумя неизвестными. Уравнение характеристик.
Задача Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Формула Даламбера (с выводом).
Краевая задача для уравнения колебаний струны. Метод Фурье.
Краевая задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье.
Числовые ряды, сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Геометрическая прогрессия.
Критерий Коши и необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд (доказательство расходимости).
Признаки сравнения сходимости рядов с положительными членами, простой и предельный (с доказательством).
Признаки Даламбера и Коши (с доказательством).
Интегральный признак сходимости (с доказательством). Ряд Дирихле.
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница (с доказательством).
Абсолютно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Условно сходящиеся ряды. Свойства условно сходящихся рядов. Теорема Римана.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости .
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (с доказательством).
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля об интервале сходимости степенного ряда (с доказательством).
Вторая теорема Абеля о степенных рядах и ее следствия (почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов).
Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Приложения степенных рядов.
Периодические функции, их свойства. Основная тригонометрическая система функций, доказательство ее ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье, вывод формул для коэффициентов Фурье.
Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций.
Условия Дирихле, основная теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Комплексная запись тригонометрического ряда Фурье (с доказательством).
Интеграл Фурье (с выводом).
Двойные интегралы. Возникновение и определение двойного интеграла.
Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Полярные координаты.
Тройные интегралы. Возникновение и определение тройного интеграла.
Свойства тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла.
Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Приложения двойных и тройных интегралов.
Криволинейные интегралы 1-го рода. Вычисление и свойства.
Приложения криволинейных интегралов 1-го рода.
Криволинейные интегралы 2-го рода, определение, физический смысл. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода.
Вычисление и приложения криволинейных интегралов 2-го рода.
Формула Грина, случай простой и произвольной области (с доказательством).
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, случай односвязной области (с доказательством), случай многосвязной области.
Поверхностные интегралы 1-го рода, сведение к двойному интегралу. Приложения.
Поверхностные интегралы 2-го рода, задача о вычислении потока. Определение поверхностного интеграла 2-го рода через проекции. Вычисление.
Формула Остроградского-Гаусса (с доказательством).
Формула Стокса (с доказательством).
Скалярные поля, поверхности и линии уровня. Производная по направлению.
Градиент и его свойства. Связь градиента с производной по направлению.
Векторные поля, векторные линии. Поток и циркуляция векторного поля.
Дивергенция векторного поля, определение, вычисление, физический смысл.
Ротор векторного поля, определение, вычисление, физический смысл.
Поле градиента, потенциальное поле. Соленоидальное поле. Их связь с ротором. Гармоническое (лапласово) поле.
Набла-оператор, дифференциальные операции 1-го и 2-го порядка теории поля.
Основные типы уравнений математической физики.
Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка с двумя неизвестными. Уравнение характеристик.
Задача Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Формула Даламбера (с выводом).
Краевая задача для уравнения колебаний струны. Метод Фурье.
Краевая задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье.