М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1963. — 197 с.
Дифференциальные уравнения являются заключительным разделом курса математического анализа на физико-математических факультетах педагогических институтов, завершающим важный этап общей математической подготовки будущих учителей математики и физики. Это ответственное положение данного раздела курса особенно усиливается чрезвычайно большой ролью, которую дифференциальные уравнения играют в самой математике и в ее многочисленных приложениях. В этом отношении значение дифференциальных уравнений переоценить трудно. В связи с последним обстоятельством в курсе дифференциальных уравнений наряду с изучением теории и методов решения должно быть уделено достаточно места приложениям, чтобы показать дифференциальные уравнения, так сказать, в действии. И хотя каждая отрасль естествознания и техники, применяя математический анализ, занимается своими дифференциальными уравнениями, связанными с собственной проблематикой, тем не менее и в общем курсе дифференциальных уравнений следует заниматься не только решением готовых уравнений, но и уделить некоторое время составлению последних по условиям конкретных задач. Надо сказать, что в большей части учебной литературы по дифференциальным уравнениям указанная точка зрения в общем проводится. Однако в иных случаях это влечет за собой другую крайность: курс дифференциальных уравнений излагается не во всех своих частях строго; вопросы теории концентрируются главным образом вокруг теоремы существования, а весь остальной материал излагается недостаточно глубоко. Я полагаю, что курс дифференциальных уравнений, в котором достаточное внимание нужно уделить приложениям, должен весь читаться на том же научном уровне, что и остальной курс математического анализа — с точной формулировкой теорем и с полным их доказательством (либо указанием на отсутствие доказательства, если это имеет место). В частности, как и всегда в математике, при изучении уравнений важное место во всех случаях должен занимать вопрос о существовании решения, о возможности выразить его теми или иными средствами и о его единственности.
Излагаемый материал не ограничивается одним обыкновенным дифференциальным уравнением — последняя глава посвящена системам обыкновенных уравнений и уравнениям в частных производных. Системы рассматриваются главным образом в связи с теоремой существования; интегралы симметричных систем далее применяются к решению линейных уравнений в частных производных 1-го порядка. Последним рассматривается интегрирование уравнения колебания струны.
В основу изложения обыкновенных дифференциальных уравнений положено написанное мною в 1950 г. пособие для студентов-заочников.
Дифференциальные уравнения являются заключительным разделом курса математического анализа на физико-математических факультетах педагогических институтов, завершающим важный этап общей математической подготовки будущих учителей математики и физики. Это ответственное положение данного раздела курса особенно усиливается чрезвычайно большой ролью, которую дифференциальные уравнения играют в самой математике и в ее многочисленных приложениях. В этом отношении значение дифференциальных уравнений переоценить трудно. В связи с последним обстоятельством в курсе дифференциальных уравнений наряду с изучением теории и методов решения должно быть уделено достаточно места приложениям, чтобы показать дифференциальные уравнения, так сказать, в действии. И хотя каждая отрасль естествознания и техники, применяя математический анализ, занимается своими дифференциальными уравнениями, связанными с собственной проблематикой, тем не менее и в общем курсе дифференциальных уравнений следует заниматься не только решением готовых уравнений, но и уделить некоторое время составлению последних по условиям конкретных задач. Надо сказать, что в большей части учебной литературы по дифференциальным уравнениям указанная точка зрения в общем проводится. Однако в иных случаях это влечет за собой другую крайность: курс дифференциальных уравнений излагается не во всех своих частях строго; вопросы теории концентрируются главным образом вокруг теоремы существования, а весь остальной материал излагается недостаточно глубоко. Я полагаю, что курс дифференциальных уравнений, в котором достаточное внимание нужно уделить приложениям, должен весь читаться на том же научном уровне, что и остальной курс математического анализа — с точной формулировкой теорем и с полным их доказательством (либо указанием на отсутствие доказательства, если это имеет место). В частности, как и всегда в математике, при изучении уравнений важное место во всех случаях должен занимать вопрос о существовании решения, о возможности выразить его теми или иными средствами и о его единственности.
Излагаемый материал не ограничивается одним обыкновенным дифференциальным уравнением — последняя глава посвящена системам обыкновенных уравнений и уравнениям в частных производных. Системы рассматриваются главным образом в связи с теоремой существования; интегралы симметричных систем далее применяются к решению линейных уравнений в частных производных 1-го порядка. Последним рассматривается интегрирование уравнения колебания струны.
В основу изложения обыкновенных дифференциальных уравнений положено написанное мною в 1950 г. пособие для студентов-заочников.