Учебник по высшей математике – 4-е изд., стер. - М.: Высшая школа,
1998. — 479 с.
Теория + множество примеров.
Изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Для студентов высших учебных заведений.
Оглавление:
Глава первая. Математический анализ функций одной переменной.
Вещественные числа.
Множества. Обозначения. Логические символы.
Вещественные числа и их основные свойства.
Геометрическое изображение вещественных чисел.
Грани числовых множеств.
Абсолютная величина числа.
Предел последовательности.
Числовые последовательности.
Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности.
Теорема о вложенных отрезках.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная система координат.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
Полярные координаты.
Преобразование прямоугольных координат.
Уравнение линии на плоскости.
Линии первого порядка. Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка.
Функции одной переменной.
Понятие функции. Предел функции.
Теоремы о пределах функций.
Два замечательных предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций.
Понятие непрерывности функций.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
Классификация точек разрыва функции.
Основные свойства непрерывных функций.
Понятие сложной функции.
Понятие обратной функции.
Дифференцирование. Понятие производной.
Понятие дифференцируемое™ функции. Понятие дифференциала.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции.
Теорема о производной обратной функции.
Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Применение дифференциального исчисления к исследованию бункций.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Исследование поведения функций и построение графиков.
Интерполяция функций.
Методы приближенного вычисления корней уравнений.
Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Условия существования определенного интеграла.
Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценки интегралов. Формула среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Глава вторая. Математический анализ функций нескольких нерешенных.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Теоремы о проекциях векторов.
Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение трех векторов.
Уравнения поверхности и линии.
Уравнение цилиндрической поверхности.
Уравнения плоскости.
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поверхности второго порядка.
Элементы высшей алгебры.
Матрицы.
Определители.
Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Частные производные и дифференцируемость функций нескользких переменных.
Частные производные.
Понятие дифференцируемости функции.
Производные сложных функций.
Дифференциал функции
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные н дифференциалы высших порядков.
Частные производные высших порядков (296).
Дифференциалы высших порядков (298).
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных.
Метод наименьших квадратов.
Интегрирование.
Двойные интегралы.
Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле.
Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Интегрирование полных дифференциалов.
Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.
Вычисление площади с помощью формулы Грина (344).
Работа силы (345).
Тройные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
Формула Стокса.
Скалярное и векторное поля.
Глава третья. Ряды, дифференциальные уравнения.
Ряды. Понятие числового ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды.
Комплексные ряды.
Ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Применение линейных ДУ к изучению колебательных явлений.
Основные формулы.
Теория + множество примеров.
Изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Для студентов высших учебных заведений.
Оглавление:
Глава первая. Математический анализ функций одной переменной.
Вещественные числа.
Множества. Обозначения. Логические символы.
Вещественные числа и их основные свойства.
Геометрическое изображение вещественных чисел.
Грани числовых множеств.
Абсолютная величина числа.
Предел последовательности.
Числовые последовательности.
Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности.
Теорема о вложенных отрезках.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная система координат.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
Полярные координаты.
Преобразование прямоугольных координат.
Уравнение линии на плоскости.
Линии первого порядка. Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка.
Функции одной переменной.
Понятие функции. Предел функции.
Теоремы о пределах функций.
Два замечательных предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций.
Понятие непрерывности функций.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
Классификация точек разрыва функции.
Основные свойства непрерывных функций.
Понятие сложной функции.
Понятие обратной функции.
Дифференцирование. Понятие производной.
Понятие дифференцируемое™ функции. Понятие дифференциала.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции.
Теорема о производной обратной функции.
Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Применение дифференциального исчисления к исследованию бункций.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Исследование поведения функций и построение графиков.
Интерполяция функций.
Методы приближенного вычисления корней уравнений.
Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Условия существования определенного интеграла.
Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценки интегралов. Формула среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Глава вторая. Математический анализ функций нескольких нерешенных.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Теоремы о проекциях векторов.
Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение трех векторов.
Уравнения поверхности и линии.
Уравнение цилиндрической поверхности.
Уравнения плоскости.
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поверхности второго порядка.
Элементы высшей алгебры.
Матрицы.
Определители.
Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Частные производные и дифференцируемость функций нескользких переменных.
Частные производные.
Понятие дифференцируемости функции.
Производные сложных функций.
Дифференциал функции
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные н дифференциалы высших порядков.
Частные производные высших порядков (296).
Дифференциалы высших порядков (298).
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных.
Метод наименьших квадратов.
Интегрирование.
Двойные интегралы.
Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле.
Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Интегрирование полных дифференциалов.
Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.
Вычисление площади с помощью формулы Грина (344).
Работа силы (345).
Тройные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
Формула Стокса.
Скалярное и векторное поля.
Глава третья. Ряды, дифференциальные уравнения.
Ряды. Понятие числового ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды.
Комплексные ряды.
Ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Применение линейных ДУ к изучению колебательных явлений.
Основные формулы.