Учебно-практическое пособие. Е.И. Шилкина, М.П. Дымков, В.А.
Рабцевич. — Минск: БГЭУ, 2011. — 167 с.
Данная книга является второй частью учебно-практического пособия по
высшей математике для студентов всех форм обучения и посвящена
изложению основ математического анализа и дифференциальных
уравнений. Настоящее пособие основано на практическом опыте чтения
математических дисциплин на различных факультетах экономического
университета и в нем излагается реальный материал, изучаемый в
комплексе лекционных курсов и практических (семинарских) занятий в
объеме, не превышающем 100 часов. Авторы не ставят своей задачей
дать полное и исчерпывающее изложение курса анализа или его
отдельных частей. Основная цель ― дать общий, доступный и
запоминающийся очерк основных положений и результатов, который бы
легко читался и усваивался всяким желающим самостоятельно изучить
данный курс в объеме, достаточном для того, чтобы ознакомиться с
основами математического аппарата, необходимого для решения
теоретических и практических задач экономики. Тем самым данное
пособие будет незаменимым при подготовке студентов экономического
университета и для студентов других ВУЗов, где используются типовые
программы, разработанные БГЭУ для студентов экономического
профиля.
Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным разделам. Данное пособие, имея относительно небольшой объем, в полной мере отвечает упомянутым требованиям ― в нем приведен необходимый минимум теоретического материала, указаны вопросы для повторения по каждому разделу, приведены тренировочные задания и их подробные решения, что в совокупности позволяет развить навыки владения математическим аппаратом и углубить понимание основных понятий математического анализа. Введение.
Общие рекомендации студенту по работе над математическими курсами.
Основные теоретические сведения.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Предел и непрерывность функций многих переменных.
Понятие функции многих переменных.
Геометрическая иллюстрация функции двух переменных.
Предел функции двух переменных в точке.
Непрерывность функции двух переменных.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Частные производные.
Дифференцируемые функции.
Полный дифференциал функции многих переменных.
Приложения полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков.
Экстремум функции многих переменных.
Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Метод наименьших квадратов.
Понятие эмпирической формулы.
Выравнивание экспериментальных данных по прямой.
Выравнивание экспериментальных данных по параболе.
Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл.
Определение первообразной и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Непосредственное интегрирование. Поднесение под знаки дифференциала.
Основные методы интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла.
Существование первообразной у непрерывной функции. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла в экономике.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Дифференциальные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Постановка задачи Коши и понятие общего решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Свойства решений линейных однородных уравнений.
Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ряды.
Числовые ряды.
Понятие числового ряда и его сходимости.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.
Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды.
Понятие функционального ряда и его области сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.
Вопросы для повторения и тренировочные задания.
Функции многих переменных.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Неопределенный интеграл.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Определенный интеграл.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Дифференциальные уравнения.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Ряды.
Тренировочное задани.
Решение тренировочного задания.
Вопросы к экзамену.
Литература.
Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным разделам. Данное пособие, имея относительно небольшой объем, в полной мере отвечает упомянутым требованиям ― в нем приведен необходимый минимум теоретического материала, указаны вопросы для повторения по каждому разделу, приведены тренировочные задания и их подробные решения, что в совокупности позволяет развить навыки владения математическим аппаратом и углубить понимание основных понятий математического анализа. Введение.
Общие рекомендации студенту по работе над математическими курсами.
Основные теоретические сведения.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Предел и непрерывность функций многих переменных.
Понятие функции многих переменных.
Геометрическая иллюстрация функции двух переменных.
Предел функции двух переменных в точке.
Непрерывность функции двух переменных.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Частные производные.
Дифференцируемые функции.
Полный дифференциал функции многих переменных.
Приложения полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков.
Экстремум функции многих переменных.
Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Метод наименьших квадратов.
Понятие эмпирической формулы.
Выравнивание экспериментальных данных по прямой.
Выравнивание экспериментальных данных по параболе.
Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл.
Определение первообразной и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Непосредственное интегрирование. Поднесение под знаки дифференциала.
Основные методы интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла.
Существование первообразной у непрерывной функции. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла в экономике.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Дифференциальные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Постановка задачи Коши и понятие общего решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Свойства решений линейных однородных уравнений.
Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ряды.
Числовые ряды.
Понятие числового ряда и его сходимости.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.
Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды.
Понятие функционального ряда и его области сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.
Вопросы для повторения и тренировочные задания.
Функции многих переменных.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Неопределенный интеграл.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Определенный интеграл.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Дифференциальные уравнения.
Тренировочное задание.
Решение тренировочного задания.
Ряды.
Тренировочное задани.
Решение тренировочного задания.
Вопросы к экзамену.
Литература.