Справочное издание. — М.: Факториал, 1999. — 272 с. — ISBN
5-88688-043-7.
В книге излагаются точные, приближённые аналитические и численные
методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо
классических методов описаны также некоторые новые методы. Для
лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны
примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и
асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в
приложениях (в механике и физике).
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук. Предисловие.
Основные определения и формулы. Интегральные преобразования.
Предварительные замечания.
Некоторые определения.
Структура решений линейных интегральных уравнений.
Интегральные преобразования.
Вычеты. Формулы для вычислений.
Лемма Жордана.
Преобразование Лапласа.
Определение. Формула обращения.
Обращение рациональных функций.
Теорема о свёртке для преобразования Лапласа.
Предельные теоремы.
Основные свойства преобразования Лапласа.
Формула Пост-Уиддера.
Преобразование Меллина.
Определение. Формула обращения.
Основные свойства преобразования Меллина.
Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье.
Преобразование Фурье.
Определение. Формула обращения.
Несимметричная форма преобразования.
Альтернативное преобразование Фурье.
Теорема о свёртке для преобразования Фурье.
Синус- и косинус-преобразования Фурье.
Косинус-преобразование Фурье.
Синус-преобразование Фурье.
Другие интегральные преобразования.
Преобразование Ханкеля.
Преобразование Мейера.
Преобразование Конторовича-Лебедева.
Y -преобразование и другие преобразования.
.
Методы решения линейных уравнений вида lxaK (x,t)y(t)dt = f(x).
Уравнения Вольтера первого рода.
Структура уравнений. Классы функций и ядер.
Существование и единственность решения.
Уравнения с вырожденным ядром: K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + . + gn (x)hn (t).
Уравнения с ядром K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + g2 (x)h2 (t).
Уравнения с вырожденным ядром общего вида.
Сведение уравнений Ворльтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода.
Первый способ.
Второй способ.
Уравнения с разностным ядром: K (x,t) = K (x - t).
Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.
Случай рационального образа решения.
Представление решения в виде композиции.
Использование вспомогательного уравнения.
Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа.
Метод дробного дифференцирования.
Определение дробных интегралов.
Определение дробных производных.
Основные свойства.
Решение обобщённого уравнения Абеля.
Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность.
Метод преобразования ядра.
Ядро с логарифмической особенностью.
Метод квадратур.
Квадратурные формулы.
Общая схема метода.
Алгоритм на основе формулы трапеций.
Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром.
Уравнения с бесконечным пределом интегрирования.
Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования.
Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода.
Методы решения линейных уравнений вида y (x) - lxa K (x, t) y (t) dt = f (x).
Интегральные уравнения Вольтерра второго рода.
Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты.
Связь между решениями интегральных уравнений.
Уравнения с вырожденным ядром: K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + . + gn (x)hn (t).
Уравнения с ядром K (x,t) = ф (х) + ф (х)(х - t).
Уравнения с ядром K (x,t) = ф (t) + ф (t)(t - x).
Уравнения с ядром K (x,t) = En. Библиогр. 108 назв.
Компьютерная вёрстка Журов А.И.
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук. Предисловие.
Основные определения и формулы. Интегральные преобразования.
Предварительные замечания.
Некоторые определения.
Структура решений линейных интегральных уравнений.
Интегральные преобразования.
Вычеты. Формулы для вычислений.
Лемма Жордана.
Преобразование Лапласа.
Определение. Формула обращения.
Обращение рациональных функций.
Теорема о свёртке для преобразования Лапласа.
Предельные теоремы.
Основные свойства преобразования Лапласа.
Формула Пост-Уиддера.
Преобразование Меллина.
Определение. Формула обращения.
Основные свойства преобразования Меллина.
Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье.
Преобразование Фурье.
Определение. Формула обращения.
Несимметричная форма преобразования.
Альтернативное преобразование Фурье.
Теорема о свёртке для преобразования Фурье.
Синус- и косинус-преобразования Фурье.
Косинус-преобразование Фурье.
Синус-преобразование Фурье.
Другие интегральные преобразования.
Преобразование Ханкеля.
Преобразование Мейера.
Преобразование Конторовича-Лебедева.
Y -преобразование и другие преобразования.
.
Методы решения линейных уравнений вида lxaK (x,t)y(t)dt = f(x).
Уравнения Вольтера первого рода.
Структура уравнений. Классы функций и ядер.
Существование и единственность решения.
Уравнения с вырожденным ядром: K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + . + gn (x)hn (t).
Уравнения с ядром K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + g2 (x)h2 (t).
Уравнения с вырожденным ядром общего вида.
Сведение уравнений Ворльтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода.
Первый способ.
Второй способ.
Уравнения с разностным ядром: K (x,t) = K (x - t).
Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.
Случай рационального образа решения.
Представление решения в виде композиции.
Использование вспомогательного уравнения.
Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа.
Метод дробного дифференцирования.
Определение дробных интегралов.
Определение дробных производных.
Основные свойства.
Решение обобщённого уравнения Абеля.
Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность.
Метод преобразования ядра.
Ядро с логарифмической особенностью.
Метод квадратур.
Квадратурные формулы.
Общая схема метода.
Алгоритм на основе формулы трапеций.
Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром.
Уравнения с бесконечным пределом интегрирования.
Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования.
Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода.
Методы решения линейных уравнений вида y (x) - lxa K (x, t) y (t) dt = f (x).
Интегральные уравнения Вольтерра второго рода.
Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты.
Связь между решениями интегральных уравнений.
Уравнения с вырожденным ядром: K (x,t) = g1 (x)h1 (t) + . + gn (x)hn (t).
Уравнения с ядром K (x,t) = ф (х) + ф (х)(х - t).
Уравнения с ядром K (x,t) = ф (t) + ф (t)(t - x).
Уравнения с ядром K (x,t) = En. Библиогр. 108 назв.
Компьютерная вёрстка Журов А.И.