Курс "Высшая математика". 1 курс, 2 курс. Разделены по вопросам, в
удобном формате. Шпаргалка. Можно распечатать и разрезать. Филиал
ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г.
Смоленске. Специальности ЭО, ЭС, ПИ, ЭМ, ЭП, Э.
Предел функции в точке и в бесконечности.
Теоремы о пределах функций, имеющих предел:
а) необходимое условие существования предела функции в точке;
б) асимптотическое разложение функции, имеющей предел (критерий существования предела функции в точке);
в) о пределе постоянной величины;
г) о пределе суммы, разности, произведения и частного функций;
д) о сохранении знака функции, имеющей предел;
е) о переходе к пределу в неравенствах;
ж) о пределе промежуточной функции.
Класс ограниченных функций и их свойства.
Класс бесконечно малых функций и их свойства.
Связь бесконечно малых функций с ограниченными функциями.
Сравнение бесконечно малых функций.
Эквивалентные бесконечно малые функции. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
Бесконечно большие функции и их свойства.
Связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми функциями.
Сравнение бесконечно больших функций. Предел рациональной функции.
Функции, непрерывные в точке. Теоремы: об устойчивости знака непрерывной функции, об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Суперпозиция функций. Теоремы: о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о непрерывности сложной функции.
Непрерывность элементарных функций.
Степенно—показательная функция и ее предел.
Первый и второй замечательные пределы.
Односторонние пределы, односторонняя непрерывность.
Точки разрыва и их классификация.
Функции, непрерывные на отрезке. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Числовая последовательность и её предел.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к кривой.
Функции, дифференцируемые в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.
Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл.
Производная суммы, разности, произведения, частного функций.
Производные элементарных функций.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Производные обратных тригонометрических функций.
Гиперболические функции, их свойства, графики и производные.
Инвариантность дифференциалов первого порядка.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков. Не инвариантность дифференциалов высших порядков (п > 2).
Функции, заданные параметрически, и их производные.
Теорема Ферма. Теоремы о среднем: теорема Ролля, теорема Коши, теорема Лагранжа.
Формула Тейлора. Разложение функций еx, sin x, cos x по формуле Тейлора.
Теоремы Лопиталя. Правило Лопиталя.
Монотонные функции. Достаточное условие монотонности.
Экстремумы. Необходимое условие экстремума.
Достаточные (два) условия экстремума.
Выпуклость, вогнутость кривой. Достаточное условие выпуклости, вогнутости кривой.
Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
Асимптоты кривой. Критерий существования не вертикальных асимптот.
Первообразная. Теоремы о первообразных.
Неопределённый интеграл и его свойства. Достаточное условие существования неопределённого интеграла. Инвариантность неопределённого интеграла. Внесение функции под знак дифференциала.
Таблица неопределённых интегралов.
Интегрирование по частям и замена переменной в неопределённом интеграле.
Некоторые сведения о многочленах. Комплексные числа. Интегрирование элементарных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Частные случаи.
Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование дифференциального бинома.
Теорема Чебышева.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл и его свойства. Условия существования определённого интеграла. Теорема о среднем, её геометрический смысл.
Производная определённого интеграла с переменным верхним пределом.
Существование первообразной функции.Формула Ньютона-Лейбница (теорема).
Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Приложения определённого интеграла. Вычисление площади плоских фигур в декартовых, в полярных координатах и в случае, если кривая задана параметрически.
Вычисление объёмов тел. Объём тел вращения.
Вычисление длины дуги кривой в декартовых, полярных координатах и в случае, если кривая задана параметрически.
Дифференциал длины дуга кривой, его геометрический смысл.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
Предел функции в точке и в бесконечности.
Теоремы о пределах функций, имеющих предел:
а) необходимое условие существования предела функции в точке;
б) асимптотическое разложение функции, имеющей предел (критерий существования предела функции в точке);
в) о пределе постоянной величины;
г) о пределе суммы, разности, произведения и частного функций;
д) о сохранении знака функции, имеющей предел;
е) о переходе к пределу в неравенствах;
ж) о пределе промежуточной функции.
Класс ограниченных функций и их свойства.
Класс бесконечно малых функций и их свойства.
Связь бесконечно малых функций с ограниченными функциями.
Сравнение бесконечно малых функций.
Эквивалентные бесконечно малые функции. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
Бесконечно большие функции и их свойства.
Связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми функциями.
Сравнение бесконечно больших функций. Предел рациональной функции.
Функции, непрерывные в точке. Теоремы: об устойчивости знака непрерывной функции, об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Суперпозиция функций. Теоремы: о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о непрерывности сложной функции.
Непрерывность элементарных функций.
Степенно—показательная функция и ее предел.
Первый и второй замечательные пределы.
Односторонние пределы, односторонняя непрерывность.
Точки разрыва и их классификация.
Функции, непрерывные на отрезке. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Числовая последовательность и её предел.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к кривой.
Функции, дифференцируемые в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.
Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл.
Производная суммы, разности, произведения, частного функций.
Производные элементарных функций.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Производные обратных тригонометрических функций.
Гиперболические функции, их свойства, графики и производные.
Инвариантность дифференциалов первого порядка.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков. Не инвариантность дифференциалов высших порядков (п > 2).
Функции, заданные параметрически, и их производные.
Теорема Ферма. Теоремы о среднем: теорема Ролля, теорема Коши, теорема Лагранжа.
Формула Тейлора. Разложение функций еx, sin x, cos x по формуле Тейлора.
Теоремы Лопиталя. Правило Лопиталя.
Монотонные функции. Достаточное условие монотонности.
Экстремумы. Необходимое условие экстремума.
Достаточные (два) условия экстремума.
Выпуклость, вогнутость кривой. Достаточное условие выпуклости, вогнутости кривой.
Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
Асимптоты кривой. Критерий существования не вертикальных асимптот.
Первообразная. Теоремы о первообразных.
Неопределённый интеграл и его свойства. Достаточное условие существования неопределённого интеграла. Инвариантность неопределённого интеграла. Внесение функции под знак дифференциала.
Таблица неопределённых интегралов.
Интегрирование по частям и замена переменной в неопределённом интеграле.
Некоторые сведения о многочленах. Комплексные числа. Интегрирование элементарных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Частные случаи.
Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование дифференциального бинома.
Теорема Чебышева.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл и его свойства. Условия существования определённого интеграла. Теорема о среднем, её геометрический смысл.
Производная определённого интеграла с переменным верхним пределом.
Существование первообразной функции.Формула Ньютона-Лейбница (теорема).
Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Приложения определённого интеграла. Вычисление площади плоских фигур в декартовых, в полярных координатах и в случае, если кривая задана параметрически.
Вычисление объёмов тел. Объём тел вращения.
Вычисление длины дуги кривой в декартовых, полярных координатах и в случае, если кривая задана параметрически.
Дифференциал длины дуга кривой, его геометрический смысл.
Несобственные интегралы первого и второго рода.