М.: МЦНМО, 2005. — 565 с. (Элементарный очерк идей и методов). —
4-e изд., испр. и доп.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве
с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между
математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и
важными для естествознания и техники разделами современной
математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель
движется к важным областям современной науки. Книга написана
доступным языком и является классикой популярного жанра в
математике. Книга предназначена для школьников, студентов,
преподавателей, а также для всех интересующихся развитием
математики и ее структурой. С задачами и упражнениями.
Оглавление
Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика? Натуральные числа .
Операции над целыми числами.
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция.
Дополнение к главе Теория чисел. Математическая числовая система .
Рациональные числа.
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы.
Замечания из области аналитической геометрии.
Комплексные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Дополнение к главе Алгебра множеств. Геометрические построения. Алгебра числовых полей .
Доказательства невозможности и алгебра .
Основные геометрические построения.
Числа, допускающие построение, и числовые поля.
Неразрешимость трех классических проблем.
Различные методы выполнения построений .
Геометрические преобразования Инверсия.
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля.
Еще об инверсии и ее применениях. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии .
Основные понятия.
Двойное отношение.
Параллельность и бесконечность.
Применения.
Аналитическое представление.
Задачи на построение с помощью одной линейки.
Конические сечения и квадрики.
Аксиоматика и нееклидова геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений. Топология .
Формула Эйлера для многогранников.
Топологические свойства фигур.
Другие примеры топологических теорем.
Топологическая классификация поверхностей. Функции и пределы .
Независимое переменное и функция.
Пределы.
Пределы при непрерывном приближении.
Точное определение непрерывности.
Две основные теоремы о непрерывных функциях.
Некоторые применения теоремы Больцано.
Дополнение к главе Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность. Максимумы и минимумы.
Задачи из области элементарной геометрии.
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи.
Стационарные точки и дифференциальное исчисление.
Треугольник Шварца.
Проблема Штейнера.
Экстремумы и неравенства.
Существование экстремума. Принцип Дирихле.
Изопериметрическая проблема.
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой.
Вариационное исчисление.
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками. Математический анализ .
Интеграл.
Производная.
Техника дифференцирования.
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые».
Основная теорема анализа.
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм.
Дифференциальные уравнения. Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения.
Добавление. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель.
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика? Натуральные числа .
Операции над целыми числами.
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция.
Дополнение к главе Теория чисел. Математическая числовая система .
Рациональные числа.
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы.
Замечания из области аналитической геометрии.
Комплексные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Дополнение к главе Алгебра множеств. Геометрические построения. Алгебра числовых полей .
Доказательства невозможности и алгебра .
Основные геометрические построения.
Числа, допускающие построение, и числовые поля.
Неразрешимость трех классических проблем.
Различные методы выполнения построений .
Геометрические преобразования Инверсия.
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля.
Еще об инверсии и ее применениях. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии .
Основные понятия.
Двойное отношение.
Параллельность и бесконечность.
Применения.
Аналитическое представление.
Задачи на построение с помощью одной линейки.
Конические сечения и квадрики.
Аксиоматика и нееклидова геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений. Топология .
Формула Эйлера для многогранников.
Топологические свойства фигур.
Другие примеры топологических теорем.
Топологическая классификация поверхностей. Функции и пределы .
Независимое переменное и функция.
Пределы.
Пределы при непрерывном приближении.
Точное определение непрерывности.
Две основные теоремы о непрерывных функциях.
Некоторые применения теоремы Больцано.
Дополнение к главе Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность. Максимумы и минимумы.
Задачи из области элементарной геометрии.
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи.
Стационарные точки и дифференциальное исчисление.
Треугольник Шварца.
Проблема Штейнера.
Экстремумы и неравенства.
Существование экстремума. Принцип Дирихле.
Изопериметрическая проблема.
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой.
Вариационное исчисление.
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками. Математический анализ .
Интеграл.
Производная.
Техника дифференцирования.
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые».
Основная теорема анализа.
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм.
Дифференциальные уравнения. Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения.
Добавление. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель.