К.1. Киев: Освіта України, 2011. - 692 с.
Настоящая работа является систематическим изложением базовой теории оптимизации для конечномерных задач. Основное внимание уделяется идейным основам методов, их сравнительному анализу и примерам использования. Охвачен широкий круг задач — от безусловной минимизации до условной минимизации. Обсуждается методика постановки и решения прикладных проблем оптимизации. Приводятся условия экстремума, теоремы существования, единственности и устойчивости решения для основных классов задач. Исследуется влияние помех, негладкости функций, вырожденности минимума.
Работа предназначена для магистров, аспирантов, докторантов, инженеров, экономистов, вычислителей и всех тех, кто сталкивается с задачами оптимизации.
Оглавление
Предисловие
Введение
1. Введение в теорию функций
1.1. Функции как объект оптимизации
1.2. Метрическое пространство
1.3. Классификация функций
1.4. Простейшие функции
1.5. Непрерывные функции
2. Отображения и функции
2.1. Формальное определение отображения и его свойства
2.2.Типы отображений
2.3. Отображения, заданные на одном множестве
2.4. Композиция отображений
2.5. Подстановки как отображение
2.6. Разложение подстановки в циклы
2.7. Функция
2.8. Обратная функция
2.9. Некоторые специальные классы функций
2.10. Понятие функционала
2.11. Функция времени
2.12. Понятие оператора
2.13. Аналитические свойства вещественных функций
2.14. Операции
3. Производная и дифференциал
3.1. Производная функция
3.2 Дифференцирование функций
3.3. Дифференциал
3.4. Производные и дифференциалы высших порядков
4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
4.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
4.2. Поведение функции в интервале
4.3. Условия экстремума
4.4. Существование, единственность, устойчивость минимума
5. Правило Лопиталя. Схема исследования функции
5.1. Правило Лопиталя
5.2. Асимптоты линий
5.3. Общая схема исследования функций
5.4. Векторная функция скалярного аргумента
6. Функции комплексного переменного
6.1.Понятие функции комплексного переменного
6.2. Производная функции комплексного переменного
6.3. Условия Даламбера – Эйлера (Коши – Римана)
6.4. Гармонические функции
6.5. Обратная функция
6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
6.7. Формула Коши
6.8. Интеграл типа Коши
6.9. Степенной ряд
6.10. Ряд Лорана
6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты
6.12. Классификация особых точек на бесконечности
6.13. Теорема о вычетах
6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функции
7. Решение уравнений
7.1. Общие сведения об уравнениях
7.2. Признак кратности корня
7. 3. Приближенное решение уравнений
8. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление
8.1. Функции нескольких переменных
8.2. Метод сечений. Предел и непрерывность
8. 3. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление
8. 4. Экстремумы функций нескольких переменных
8. 5. Скалярное поле
9. Дифференциальные уравнения
9. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
9.2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
9.3. Полное метрическое пространство
9.4. Принцип сжатых отображений
9.5. Применение принципа сжатых отображений
9.6. Приближенное решение конечных уравнений
9.7. Уравнения, не разрешимые относительно производной
9.8. Огибающая семейства кривых
9.9. Интегрирование полного дифференциала
10. Уравнения высших порядков и системы уравнений
10.1. Основные определения
10.2. Уравнения высших порядков
10.3. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
10.4. Дифференциальное уравнение второго порядка
10.5. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
10.6. Линейные уравнения общего вида
10.7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
10.8. Системы линейных уравнений
10.9.Фазовое пространство
11. Операционное исчисление
11.1. Изображение Лапласа
11.2. Изображение простейших функций и свойства изображений
11.3. Приложения операционного исчисления
12. Обобщенные функции
12.1. Понятие обобщенной функции
12.2. Операции над обобщенными функциями
12.3. Преобразование Фурье обобщенных функций
13. Числа и последовательности Фибоначчи
14. Интерполяция, сглаживание, аппроксимация
14.1. Задачи интерполяции, сглаживания, аппроксимации
14.2. Кривые
14.3. Поверхности
15. Сходимость
15.1. Введение в сходимость
15.2. Скорость сходимости
15.3. Общие схемы исследования скорости сходимости
15.4. Роль теорем сходимости
16. Устойчивость
16.1. Устойчивость по Ляпунову
16.2. Элементы теории устойчивости
16.3. Классификация точек покоя
17. Теория разностных схем – понятия сходимости, аппроксимации устойчивости
17.1. Метод ломаных Эйлера
17.2. Методы Рунге – Кутты
17.3. О сходимости явных методов
17.4. Анализ погрешностей
18. Постановка задачи оптимизации
19. Классификация методов оптимизации
19.1. Аналитические методы оптимизации
19.2. Целочисленные методы оптимизации
19.3. Поисковые методы оптимизации
19.4. Оптимизация в конфликтных ситуациях
19.5.Комбинаторные методы оптимизации
19.6. Эвристическое программирование
19.7. Стохастическое программирование
19.8.Методы формализации качественных характеристик
Список обозначений
Литература
Настоящая работа является систематическим изложением базовой теории оптимизации для конечномерных задач. Основное внимание уделяется идейным основам методов, их сравнительному анализу и примерам использования. Охвачен широкий круг задач — от безусловной минимизации до условной минимизации. Обсуждается методика постановки и решения прикладных проблем оптимизации. Приводятся условия экстремума, теоремы существования, единственности и устойчивости решения для основных классов задач. Исследуется влияние помех, негладкости функций, вырожденности минимума.
Работа предназначена для магистров, аспирантов, докторантов, инженеров, экономистов, вычислителей и всех тех, кто сталкивается с задачами оптимизации.
Оглавление
Предисловие
Введение
1. Введение в теорию функций
1.1. Функции как объект оптимизации
1.2. Метрическое пространство
1.3. Классификация функций
1.4. Простейшие функции
1.5. Непрерывные функции
2. Отображения и функции
2.1. Формальное определение отображения и его свойства
2.2.Типы отображений
2.3. Отображения, заданные на одном множестве
2.4. Композиция отображений
2.5. Подстановки как отображение
2.6. Разложение подстановки в циклы
2.7. Функция
2.8. Обратная функция
2.9. Некоторые специальные классы функций
2.10. Понятие функционала
2.11. Функция времени
2.12. Понятие оператора
2.13. Аналитические свойства вещественных функций
2.14. Операции
3. Производная и дифференциал
3.1. Производная функция
3.2 Дифференцирование функций
3.3. Дифференциал
3.4. Производные и дифференциалы высших порядков
4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
4.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
4.2. Поведение функции в интервале
4.3. Условия экстремума
4.4. Существование, единственность, устойчивость минимума
5. Правило Лопиталя. Схема исследования функции
5.1. Правило Лопиталя
5.2. Асимптоты линий
5.3. Общая схема исследования функций
5.4. Векторная функция скалярного аргумента
6. Функции комплексного переменного
6.1.Понятие функции комплексного переменного
6.2. Производная функции комплексного переменного
6.3. Условия Даламбера – Эйлера (Коши – Римана)
6.4. Гармонические функции
6.5. Обратная функция
6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
6.7. Формула Коши
6.8. Интеграл типа Коши
6.9. Степенной ряд
6.10. Ряд Лорана
6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты
6.12. Классификация особых точек на бесконечности
6.13. Теорема о вычетах
6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функции
7. Решение уравнений
7.1. Общие сведения об уравнениях
7.2. Признак кратности корня
7. 3. Приближенное решение уравнений
8. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление
8.1. Функции нескольких переменных
8.2. Метод сечений. Предел и непрерывность
8. 3. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление
8. 4. Экстремумы функций нескольких переменных
8. 5. Скалярное поле
9. Дифференциальные уравнения
9. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
9.2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
9.3. Полное метрическое пространство
9.4. Принцип сжатых отображений
9.5. Применение принципа сжатых отображений
9.6. Приближенное решение конечных уравнений
9.7. Уравнения, не разрешимые относительно производной
9.8. Огибающая семейства кривых
9.9. Интегрирование полного дифференциала
10. Уравнения высших порядков и системы уравнений
10.1. Основные определения
10.2. Уравнения высших порядков
10.3. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
10.4. Дифференциальное уравнение второго порядка
10.5. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
10.6. Линейные уравнения общего вида
10.7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
10.8. Системы линейных уравнений
10.9.Фазовое пространство
11. Операционное исчисление
11.1. Изображение Лапласа
11.2. Изображение простейших функций и свойства изображений
11.3. Приложения операционного исчисления
12. Обобщенные функции
12.1. Понятие обобщенной функции
12.2. Операции над обобщенными функциями
12.3. Преобразование Фурье обобщенных функций
13. Числа и последовательности Фибоначчи
14. Интерполяция, сглаживание, аппроксимация
14.1. Задачи интерполяции, сглаживания, аппроксимации
14.2. Кривые
14.3. Поверхности
15. Сходимость
15.1. Введение в сходимость
15.2. Скорость сходимости
15.3. Общие схемы исследования скорости сходимости
15.4. Роль теорем сходимости
16. Устойчивость
16.1. Устойчивость по Ляпунову
16.2. Элементы теории устойчивости
16.3. Классификация точек покоя
17. Теория разностных схем – понятия сходимости, аппроксимации устойчивости
17.1. Метод ломаных Эйлера
17.2. Методы Рунге – Кутты
17.3. О сходимости явных методов
17.4. Анализ погрешностей
18. Постановка задачи оптимизации
19. Классификация методов оптимизации
19.1. Аналитические методы оптимизации
19.2. Целочисленные методы оптимизации
19.3. Поисковые методы оптимизации
19.4. Оптимизация в конфликтных ситуациях
19.5.Комбинаторные методы оптимизации
19.6. Эвристическое программирование
19.7. Стохастическое программирование
19.8.Методы формализации качественных характеристик
Список обозначений
Литература