Учебное пособие. Ивановский государственный университет, 2002. -
108 с.
Учебное пособие посвящено разделу евклидовой геометрии, связанному
с теорией n-мерных конечногранных выпуклых многогранников, и
применению этой теории к дискретной геометрии - нормальным
разбиениям евклидова пространства на области Дирихле-Вороного и
L-многогранники (многогранники Делоне), которые заданы
равномерно-дискретными системами точек пространства. Подробно
рассмотрен вопрос двойственности граней этих разбиений. Пособие
адресовано в первую очередь студентам математического факультета,
специализирующимся на дискретной геометрии, а также всем, кто
интересуется этой тематикой. Требования к подготовке читателя
весьма скромные - это основы линейной алгебры и математического
анализа.
Предисловие.
Аффинное евклидово пространство и выпуклые множества.
Аффинная структура евклидова пространства.
Аффинное евклидово пространство.
Аффинное подпространство (плоскость).
Аффинная комбинация точек и аффинное подпространство.
Аффинная оболочка множества.
Аффинная независимость точек.
Аффинный базис подпространства.
Уравнения плоскостей. Полупространства.
Расположение плоскостей.
Аффинные отображения пространства.
Проекция.
Упражнения.
Выпуклые множества.
Выпуклое множество.
Выпуклая комбинация.
Эквивалентное определение выпуклого множества.
Выпуклая оболочка множества.
Теорема Каратеодори.
Симплекс Sn.
Упражнения.
Относительная внутренность выпуклых множеств.
Внешнее и внутреннее представление замкнутых выпуклых множеств. Теоремы отделимости. Теорема Минковского.
Отделимость выпуклых множеств.
Крайние точки и теорема Минковского.
Выпуклые многогранники и полиэдральные множества.
Выпуклые многогранники.
Выпуклый многогранник.
Компактность выпуклых многогранников.
Крайние точки. Эквивалентное определение многогранников.
Относительная внутренность выпуклых многогранников.
Грани выпуклых многогранников.
Вершины и крайние точки совпадают.
Грань является многогранником. Вершины грани.
Пересечение граней - грань.
Грани граней.
Минимальная грань содержащая точку многогранника.
Многогранник как конечное пересечение полупространств.
Упражнения.
Полиэдральные множества.
Полиэдральное множество. Определение.
Ограниченные полиэдральные множества есть многогранники.
Грани полиэдральных множеств.
Неприводимое представление полиэдрального множества.
Представление граней полиэдрального множества.
Следствия для теории выпуклых многогранников.
Упражнения.
Разбиения пространства Еn, задаваемые равномерно-дискретными системами точек.
Разбиения на многогранники.
Равномерно-дискретные системы точек.
Области Дирихле-Вороного точек (r, R)-систем и разбиение Дирихле-Вороного.
L-многогранники (многогранники Делоне) (r, R)-систем и L-разбиения, задаваемые этими системами.
Метод Б.Н. Делоне "пустого шара". L-многогранник.
Степень точки относительно сферы.
Комментарии к методу "пустого шара".
Существование L-многогранника (r, R)-системы.
Лемма о шапочках пересекающихся шаров.
Нормальная упаковка L-многогранников. Свойства граней.
Покрытие пространства L-многогранниками. L-разбиение.
Необходимые и достаточные условия для L-разбиения.
Двойственность разбиения Дирихле-Вороного и L-разбиения (разбиения Делоне).
Приложение (к главе 3). Центральная проекция.
Список использованной и рекомендуемой литературы.
Аффинное евклидово пространство и выпуклые множества.
Аффинная структура евклидова пространства.
Аффинное евклидово пространство.
Аффинное подпространство (плоскость).
Аффинная комбинация точек и аффинное подпространство.
Аффинная оболочка множества.
Аффинная независимость точек.
Аффинный базис подпространства.
Уравнения плоскостей. Полупространства.
Расположение плоскостей.
Аффинные отображения пространства.
Проекция.
Упражнения.
Выпуклые множества.
Выпуклое множество.
Выпуклая комбинация.
Эквивалентное определение выпуклого множества.
Выпуклая оболочка множества.
Теорема Каратеодори.
Симплекс Sn.
Упражнения.
Относительная внутренность выпуклых множеств.
Внешнее и внутреннее представление замкнутых выпуклых множеств. Теоремы отделимости. Теорема Минковского.
Отделимость выпуклых множеств.
Крайние точки и теорема Минковского.
Выпуклые многогранники и полиэдральные множества.
Выпуклые многогранники.
Выпуклый многогранник.
Компактность выпуклых многогранников.
Крайние точки. Эквивалентное определение многогранников.
Относительная внутренность выпуклых многогранников.
Грани выпуклых многогранников.
Вершины и крайние точки совпадают.
Грань является многогранником. Вершины грани.
Пересечение граней - грань.
Грани граней.
Минимальная грань содержащая точку многогранника.
Многогранник как конечное пересечение полупространств.
Упражнения.
Полиэдральные множества.
Полиэдральное множество. Определение.
Ограниченные полиэдральные множества есть многогранники.
Грани полиэдральных множеств.
Неприводимое представление полиэдрального множества.
Представление граней полиэдрального множества.
Следствия для теории выпуклых многогранников.
Упражнения.
Разбиения пространства Еn, задаваемые равномерно-дискретными системами точек.
Разбиения на многогранники.
Равномерно-дискретные системы точек.
Области Дирихле-Вороного точек (r, R)-систем и разбиение Дирихле-Вороного.
L-многогранники (многогранники Делоне) (r, R)-систем и L-разбиения, задаваемые этими системами.
Метод Б.Н. Делоне "пустого шара". L-многогранник.
Степень точки относительно сферы.
Комментарии к методу "пустого шара".
Существование L-многогранника (r, R)-системы.
Лемма о шапочках пересекающихся шаров.
Нормальная упаковка L-многогранников. Свойства граней.
Покрытие пространства L-многогранниками. L-разбиение.
Необходимые и достаточные условия для L-разбиения.
Двойственность разбиения Дирихле-Вороного и L-разбиения (разбиения Делоне).
Приложение (к главе 3). Центральная проекция.
Список использованной и рекомендуемой литературы.