Учебное пособие для аспирантов. -Новосибирск, Новосибирская
государственная академия водного транспорта, 2007. - 129с.
Настоящее учебное пособие предназначено для аспирантов, студентов –
стажёров и преподавателей НГАВТ и составлено по опыту изучения
тензорного исчисления в школе – семинаре при кафедре ТУК в 2005 –
2006 учебном году. Пособие может быть полезным для изучения методов
тензорного исчисления, широко используемых в современной научной
литературе по гидромеханике, теории упругости и тем разделам
математической физики, которые связаны с механикой сплошной среды.
Содержание
Введение
Тензоры в механике сплошных сред
Задача, приводящая к понятию тензора
Понятие тензора
Основные понятия и определения
Ранг тензора
Взаимное положение двух векторов
Проекция вектора а на единичный вектор uо
Косинус угла между двумя векторами
Первая основная задача
Вторая основная задача
Реперы и кореперы в пространстве
Проекции вектора на прямоугольные координаты
Проекции вектора на оси пространственных координат
Построение взаимного базиса
Свойства взаимных базисов
Определение связи между проекциями вектора во взаимных базисах
Переход от одного ортонормированного базиса к другому
Ковариантные и контравариантные компоненты
Индексные обозначения и соглашение о суммировании
Правило индексных обозначений
Соглашение о суммировании А. Эйнштейна
Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора
Случай ортогональных базисов
Правило поднятия, опускания и переименовании индексов
Фундаментальный (метрический) тензор
Признак тензорности величин
Обратный тензорный признак
Символ Леви-Чивита
Якобиан
Свойства тензоров и действия с ними
Свойство симметрии тензоров
Перестановка индексов, симметрирование и альтернирование
Диады и диадики
Умножение вектора a на единичную диаду E
Диадики
Произведение вектора a на диадик D
Алгебра диадиков
Произведения тензоров и свёртки
Свёртки
Общие правила свёртывания
Произведение тензоров и векторов
Произведение тензора Т на вектор а с последующим свёртыванием
Свёртывание по второму индексу произведения тензора Т на вектор а
Умножение вектора а на тензор Т
Геометрическая интерпретация произведения вектора а на тензор Т
Произведение тензоров
Главные значения и главные направления тензора второго ранга
Основные понятия
Определение главных направлений и главных значений тензора Tik
Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга
Степени тензора второго ранга. Соотношения Гамильтона – Кэли
Ковариантное дифференцирование тензоров
Ковариантный дифференциал тензора
Ковариантная производная вектора
Символы дифференцирования в тензорном исчислении
Символы Кристоффеля 2-го рода Гi j k
Символы Кристоффеля 1-го рода Гi, j k
Связь между символами Кристоффеля 1-го и 2 –го рода
Доказательство тождеств, связывающих приведенные величины
Ковариантная производная тензора
Правила дифференцирования тензоров
Теорема Риччи
Векторный и тензорный анализ
Скалярные, векторные и тензорные поля
Скалярное поле
Производная скалярной функции по направлению вектора s
Градиент
Векторное поле
Поток вектора
Дивергенция
Следствия из формулы Остроградского – Гаусса
Циркуляция вектора
Теорема Грина
Теорема Стокса
Ротор
Следствия из теоремы Стокса
Тензорное поле
Дифференцирование тензорных полей
Поле тензора 2-го ранга. Поток тензорного поля
Несколько приложений потока поля тензора 2-го ранга
Дивергенция тензорного поля
Производная тензорного поля по направлению
Теорема Остроградского – Гаусса в тензорном поле
Основные определения и выводы коэффициентов Ламэ
Смысл коэффициентов Ламэ
Вывод дифференциалов длины дуги, площади и объёма
Вывод градиента криволинейных координат
Вывод формулы дивергенции векторного поля
Дивергенция единичных векторов
Вывод формулу ротора векторного поля а
Ротор базовых векторов
Оператор Лапласа для скалярного поля ψ
Коэффициенты Ламэ и дифференциальные характеристики полей в цилиндрической системе координат
Градиент скалярного поля ψ в цилиндрической системе координат
Дивергенция векторного поля а в цилиндрической системе координат
Ротор векторного поля а в цилиндрической системе координат
Лапласиан скалярного поля ψ в цилиндрической системе координат
Градиент скалярного поля ψ в сферических координатах
Дивергенция векторного поля а в сферических координатах
Ротор векторного поля а в сферических координатах
Лапласиан скалярного поля ψ в сферических координатах
Основные уравнения гидромеханики жидкости
Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
Трубка тока
Тензор напряжений
Идеальная жидкость
Дифференциальные уравнения движения жидкости
Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости уравнение Навье – Стокса) при μ = const
Закон Архимеда
Теорема импульса в гидродинамике
Приложения
Элементы векторной алгебры
Сводные таблицы:
Выражение элементов полей через коэффициенты Ламе
Элементы векторной алгебры в тензорных выражениях
Элементы аналитической геометрии в тензорных выражениях
Механика в тензорном выражении
Дифференциальные операции скалярных, векторных и тензорных полей
Характеристики полей в разных системах координат
Определения тензорных величин, основанные на законе преобразования их компонент
Компоненты тензоров в декартовых косоугольных координатах
Символы умножения и дифференцирования в тензорном исчислении
Примеры, используемые в механике сплошной среды
Основные обозначения
Строгие определения в тензорном исчислении
Литература
Введение
Тензоры в механике сплошных сред
Задача, приводящая к понятию тензора
Понятие тензора
Основные понятия и определения
Ранг тензора
Взаимное положение двух векторов
Проекция вектора а на единичный вектор uо
Косинус угла между двумя векторами
Первая основная задача
Вторая основная задача
Реперы и кореперы в пространстве
Проекции вектора на прямоугольные координаты
Проекции вектора на оси пространственных координат
Построение взаимного базиса
Свойства взаимных базисов
Определение связи между проекциями вектора во взаимных базисах
Переход от одного ортонормированного базиса к другому
Ковариантные и контравариантные компоненты
Индексные обозначения и соглашение о суммировании
Правило индексных обозначений
Соглашение о суммировании А. Эйнштейна
Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора
Случай ортогональных базисов
Правило поднятия, опускания и переименовании индексов
Фундаментальный (метрический) тензор
Признак тензорности величин
Обратный тензорный признак
Символ Леви-Чивита
Якобиан
Свойства тензоров и действия с ними
Свойство симметрии тензоров
Перестановка индексов, симметрирование и альтернирование
Диады и диадики
Умножение вектора a на единичную диаду E
Диадики
Произведение вектора a на диадик D
Алгебра диадиков
Произведения тензоров и свёртки
Свёртки
Общие правила свёртывания
Произведение тензоров и векторов
Произведение тензора Т на вектор а с последующим свёртыванием
Свёртывание по второму индексу произведения тензора Т на вектор а
Умножение вектора а на тензор Т
Геометрическая интерпретация произведения вектора а на тензор Т
Произведение тензоров
Главные значения и главные направления тензора второго ранга
Основные понятия
Определение главных направлений и главных значений тензора Tik
Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга
Степени тензора второго ранга. Соотношения Гамильтона – Кэли
Ковариантное дифференцирование тензоров
Ковариантный дифференциал тензора
Ковариантная производная вектора
Символы дифференцирования в тензорном исчислении
Символы Кристоффеля 2-го рода Гi j k
Символы Кристоффеля 1-го рода Гi, j k
Связь между символами Кристоффеля 1-го и 2 –го рода
Доказательство тождеств, связывающих приведенные величины
Ковариантная производная тензора
Правила дифференцирования тензоров
Теорема Риччи
Векторный и тензорный анализ
Скалярные, векторные и тензорные поля
Скалярное поле
Производная скалярной функции по направлению вектора s
Градиент
Векторное поле
Поток вектора
Дивергенция
Следствия из формулы Остроградского – Гаусса
Циркуляция вектора
Теорема Грина
Теорема Стокса
Ротор
Следствия из теоремы Стокса
Тензорное поле
Дифференцирование тензорных полей
Поле тензора 2-го ранга. Поток тензорного поля
Несколько приложений потока поля тензора 2-го ранга
Дивергенция тензорного поля
Производная тензорного поля по направлению
Теорема Остроградского – Гаусса в тензорном поле
Основные определения и выводы коэффициентов Ламэ
Смысл коэффициентов Ламэ
Вывод дифференциалов длины дуги, площади и объёма
Вывод градиента криволинейных координат
Вывод формулы дивергенции векторного поля
Дивергенция единичных векторов
Вывод формулу ротора векторного поля а
Ротор базовых векторов
Оператор Лапласа для скалярного поля ψ
Коэффициенты Ламэ и дифференциальные характеристики полей в цилиндрической системе координат
Градиент скалярного поля ψ в цилиндрической системе координат
Дивергенция векторного поля а в цилиндрической системе координат
Ротор векторного поля а в цилиндрической системе координат
Лапласиан скалярного поля ψ в цилиндрической системе координат
Градиент скалярного поля ψ в сферических координатах
Дивергенция векторного поля а в сферических координатах
Ротор векторного поля а в сферических координатах
Лапласиан скалярного поля ψ в сферических координатах
Основные уравнения гидромеханики жидкости
Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
Трубка тока
Тензор напряжений
Идеальная жидкость
Дифференциальные уравнения движения жидкости
Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости уравнение Навье – Стокса) при μ = const
Закон Архимеда
Теорема импульса в гидродинамике
Приложения
Элементы векторной алгебры
Сводные таблицы:
Выражение элементов полей через коэффициенты Ламе
Элементы векторной алгебры в тензорных выражениях
Элементы аналитической геометрии в тензорных выражениях
Механика в тензорном выражении
Дифференциальные операции скалярных, векторных и тензорных полей
Характеристики полей в разных системах координат
Определения тензорных величин, основанные на законе преобразования их компонент
Компоненты тензоров в декартовых косоугольных координатах
Символы умножения и дифференцирования в тензорном исчислении
Примеры, используемые в механике сплошной среды
Основные обозначения
Строгие определения в тензорном исчислении
Литература