М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 296 с.(Второе издание данной книги носит
название «Математические модели нелинейной динамики». - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 296 с.).
Обобщаются известные и предлагаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, самоорганизации и др. Предложен принципиально новый подход к моделированию динамических систем, основанный на теории возможностей и нечеткой математике. Он ориентирован на описание динамики в условиях неопределенности и является альтернативой стохастическому моделированию. Предлагаются методы прогноза динамики на основе наблюдений над системой, выполненных с погрешностью.
Для специалистов по математическому моделированию, а также для студентов старших курсов и аспирантов технических и физико-математических специальностей вузов. Предисловие.
Математические модели динамических систем.
Основные определения.
Определение динамической системы.
Динамическая система и ее состояние.
Моделирование динамической системы.
Динамическая система, описываемая конечной системой.
дифференциальных уравнений.
Гармонические колебания.
Движение в поле потенциальных сил.
Нелинейный осциллятор.
Консервативные и диссипативные системы.
Маятник с затуханием.
Нелинейный осциллятор Ван дер Поля.
Странные аттракторы.
Дискретные эволюционные модели.
Разностные эволюционные уравнения.
Отображение Пуанкаре.
О решении начальных задач для дифференциальных эволюционных уравнений.
Область определения фазовых траекторий.
Автономные динамические системы.
Типы траекторий автономных динамических систем.
Предельные точки и предельные множества.
Классификация поведения динамических систем.
Топологическая эквивалентность.
Определение топологической эквивалентности.
Зависимость от параметра.
Исследование качественного поведения систем.
Примеры влияния управляющих параметров на динамику систем.
Грубые динамические системы.
Классификация особых точек.
Поведение вблизи особых точек.
Устойчивость динамических систем.
Устойчивость особых точек.
Предельные циклы.
Устойчивость по Ляпунову.
Орбитальная устойчивость.
Устойчивость и ляпуновские характеристические показатели.
Устойчивость периодических решений.
Типичные бифуркации нелинейных динамических систем.
Бифуркация смены устойчивости.
Бифуркация "седло-узел".
Складка.
Сборка.
Бифуркация рождения предельного цикла.
Бифуркации удвоения периода и расщепления цикла.
Введение в элементарную теорию катастроф.
Вводные замечания и примеры.
Неморсовские особые точки.
Росток и возмущение катастрофы.
Классификация катастроф.
Канонический вид эволюционного уравнения в неособой точке.
Канонический вид эволюционного уравнения в морсовской точке.
Лемма Морса.
Канонический вид эволюционного уравнения в особой точке катастроф.
Возмущения.
Сепаратрисы на множестве параметров.
Флаги катастроф.
Фазовый переход как катастрофа.
Точки катастроф и изменение климата.
Приближенные методы исследования нелинейных систем.
Метод усреднения.
Асимптотические методы малого параметра.
Регулярные возмущения системы дифференциальных уравнений.
Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.
Гамильтоновы системы.
Основы вариационного исчисления.
Основные понятия Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Задачи динамики.
Движение в центральном поле.
Циклические координаты.
Законы сохранения и инвариантность гамильтониана.
Особенности фазовых портретов гамильтоновых систем.
Вполне интегрируемые системы.
Скобки Пуассона и первые интегралы.
Условно периодическое движение.
Резонансные и нерезонансные торы в фазовом пространстве.
О теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.
Инвариантные торы в негамильтоновых системах.
Хаос в динамических системах.
Что такое хаос.
Хаос: мифология и математика.
Хаотические колебания.
Аттрактор Лоренца. Вывод уравнений.
Анализ системы уравнений Лоренца.
Реакция Белоусова-Жаботинского.
Хаос и сечение Пуанкаре.
Характерные признаки хаоса.
Дискретные отображения.
Сдвиг Бернулли.
Треугольное отображение.
Математические характеристики хаоса.
Хаотическая диффузия.
Сценарии перехода к хаосу.
Переход к хаосу через удвоение периода.
Переход к хаосу через перемежаемость.
Сценарий Рюэля-Такенса.
Эргодичность и перемешивание.
Среднее по времени и среднее по ансамблю.
Эргодические системы.
Перемешивающие системы.
Диссипативные перемешивающие системы.
Странные аттракторы.
Фрактальные свойства странного аттрактора.
Ведущие параметры.
Быстрое и медленное время.
Параметры порядка и принцип подчинения.
Фракталы: определения и свойства.
Что такое фрактал.
Примеры и определения фрактала.
Фрактальность пространственных форм.
Динамические фракталы.
Размерность Хаусдорфа-Безиковича.
Фрактал как самоподобный объект.
Фракталы Жюлиа и Мандельброта.
Фрактальные кластеры.
Фракталы как модели физических систем.
Самоподобие как фундаментальное свойство природы.
Численные методы исследования динамических систем.
Расчет отображений Пуанкаре.
Численный анализ периодических решений.
Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей.
Расчет размерности аттрактора.
Оценка топологической размерности.
Фрактальная размерность аттрактора.
Самоорганизация в нелинейных системах.
О двух тенденциях динамики — от беспорядка к порядку и обратно.
Проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем.
Стрела времени и законы динамики.
Квантово-механический и космологический парадоксы.
Причина необратимости времени в статистической физике.
Описание движения, несводимое к траекториям.
Самоорганизация в активных средах.
Бистабильные среды.
Возбудимые среды.
Автоколебательные среды.
Нелинейные волны. Солитоны.
Гиперболические и диспергирующие волны.
Солитоны.
Самоорганизация в химической кинетике.
Реакция Белоусова-Жаботинского.
Математическая модель реакций химической кинетики.
Брюсселятор.
Анализ математической модели брюсселятора.
Самоорганизация в биологических системах.
Возникновение жизни.
Математические модели выживания.
Модели роста и взаимодействия популяций.
О модели морфогенеза.
Клеточные автоматы.
Математическая модель клеточного автомата.
Игра "Жизнь"
Фильтр движущихся целей.
Клеточная модель физической реальности.
Обучающиеся системы.
Модель Изинга.
Нейронные сети.
Инвариантные сети.
Морфологический анализ изображений.
Системы со случайными шумами.
Роль флуктуации.
Случайные процессы.
Марковские случайные процессы.
Уравнение Смолуховского.
Уравнение для плотности вероятности.
Физические системы с шумами.
Уравнение Ланжевена.
Движение в потенциальном поле.
Барометрическая формула.
Нестационарные решения уравнения Фокера-Планка.
Теория второго порядка.
Сходимость в среднем квадратичном.
Корреляционная функция случайного процесса.
Непрерывность в среднем квадратичном.
Дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном.
Измерение и прогнозирование.
Теория измерительно-вычислительных систем.
Несколько неформальных определений.
Схема реального измерения.
Схема идеального измерения.
В чем состоит интерпретация измерения.
Линейная модель измерения.
Интерпретация измерений с помощью линейных измерительно-вычислительных систем.
Наблюдения с помощью датчика второго порядка.
Методы синтеза ИВС как идеальных приборов.
Схема измерений и ее математические модели.
Несмещенный синтез выходного сигнала идеального прибора.
Синтез идеального прибора с ограничением на энергию шума на его выходе.
Синтез выходного сигнала идеального прибора.
Априорные данные.
Надежность модели и надежность интерпретации.
Зачем проверять модель измерения.
Надежность модели измерения.
Надежность интерпретации.
Нечёткие модели.
Возможность и вероятность.
Математические основы теории возможностей.
Нечеткие множества и события. Алгебра нечётких множеств.
Мера возможности и мера необходимости.
Принцип относительности в теории возможностей.
Условная мера возможности.
Нечёткие элементы.
Нечёткое моделирование.
Гауссовы нечёткие элементы.
Определение гауссова нечёткого элемента.
Маргинальное распределение Условное.
распределение нечёткого гауссова элемента.
Аппроксимация нечётких гауссовых элементов.
Собственный базис нечёткого гауссова элемента.
Нечёткая динамика.
Нечёткие процессы.
Марковские нечёткие процессы.
Уравнение Смолуховского для нечётких процессов.
Однородные нечеткие процессы с независимыми приращениями.
Процессы с дискретным временем и конечным числом состояний.
Волны возможности Нечёткие процессы и наблюдения.
Распространение возможностей.
Список литературы.
Обобщаются известные и предлагаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, самоорганизации и др. Предложен принципиально новый подход к моделированию динамических систем, основанный на теории возможностей и нечеткой математике. Он ориентирован на описание динамики в условиях неопределенности и является альтернативой стохастическому моделированию. Предлагаются методы прогноза динамики на основе наблюдений над системой, выполненных с погрешностью.
Для специалистов по математическому моделированию, а также для студентов старших курсов и аспирантов технических и физико-математических специальностей вузов. Предисловие.
Математические модели динамических систем.
Основные определения.
Определение динамической системы.
Динамическая система и ее состояние.
Моделирование динамической системы.
Динамическая система, описываемая конечной системой.
дифференциальных уравнений.
Гармонические колебания.
Движение в поле потенциальных сил.
Нелинейный осциллятор.
Консервативные и диссипативные системы.
Маятник с затуханием.
Нелинейный осциллятор Ван дер Поля.
Странные аттракторы.
Дискретные эволюционные модели.
Разностные эволюционные уравнения.
Отображение Пуанкаре.
О решении начальных задач для дифференциальных эволюционных уравнений.
Область определения фазовых траекторий.
Автономные динамические системы.
Типы траекторий автономных динамических систем.
Предельные точки и предельные множества.
Классификация поведения динамических систем.
Топологическая эквивалентность.
Определение топологической эквивалентности.
Зависимость от параметра.
Исследование качественного поведения систем.
Примеры влияния управляющих параметров на динамику систем.
Грубые динамические системы.
Классификация особых точек.
Поведение вблизи особых точек.
Устойчивость динамических систем.
Устойчивость особых точек.
Предельные циклы.
Устойчивость по Ляпунову.
Орбитальная устойчивость.
Устойчивость и ляпуновские характеристические показатели.
Устойчивость периодических решений.
Типичные бифуркации нелинейных динамических систем.
Бифуркация смены устойчивости.
Бифуркация "седло-узел".
Складка.
Сборка.
Бифуркация рождения предельного цикла.
Бифуркации удвоения периода и расщепления цикла.
Введение в элементарную теорию катастроф.
Вводные замечания и примеры.
Неморсовские особые точки.
Росток и возмущение катастрофы.
Классификация катастроф.
Канонический вид эволюционного уравнения в неособой точке.
Канонический вид эволюционного уравнения в морсовской точке.
Лемма Морса.
Канонический вид эволюционного уравнения в особой точке катастроф.
Возмущения.
Сепаратрисы на множестве параметров.
Флаги катастроф.
Фазовый переход как катастрофа.
Точки катастроф и изменение климата.
Приближенные методы исследования нелинейных систем.
Метод усреднения.
Асимптотические методы малого параметра.
Регулярные возмущения системы дифференциальных уравнений.
Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.
Гамильтоновы системы.
Основы вариационного исчисления.
Основные понятия Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Задачи динамики.
Движение в центральном поле.
Циклические координаты.
Законы сохранения и инвариантность гамильтониана.
Особенности фазовых портретов гамильтоновых систем.
Вполне интегрируемые системы.
Скобки Пуассона и первые интегралы.
Условно периодическое движение.
Резонансные и нерезонансные торы в фазовом пространстве.
О теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.
Инвариантные торы в негамильтоновых системах.
Хаос в динамических системах.
Что такое хаос.
Хаос: мифология и математика.
Хаотические колебания.
Аттрактор Лоренца. Вывод уравнений.
Анализ системы уравнений Лоренца.
Реакция Белоусова-Жаботинского.
Хаос и сечение Пуанкаре.
Характерные признаки хаоса.
Дискретные отображения.
Сдвиг Бернулли.
Треугольное отображение.
Математические характеристики хаоса.
Хаотическая диффузия.
Сценарии перехода к хаосу.
Переход к хаосу через удвоение периода.
Переход к хаосу через перемежаемость.
Сценарий Рюэля-Такенса.
Эргодичность и перемешивание.
Среднее по времени и среднее по ансамблю.
Эргодические системы.
Перемешивающие системы.
Диссипативные перемешивающие системы.
Странные аттракторы.
Фрактальные свойства странного аттрактора.
Ведущие параметры.
Быстрое и медленное время.
Параметры порядка и принцип подчинения.
Фракталы: определения и свойства.
Что такое фрактал.
Примеры и определения фрактала.
Фрактальность пространственных форм.
Динамические фракталы.
Размерность Хаусдорфа-Безиковича.
Фрактал как самоподобный объект.
Фракталы Жюлиа и Мандельброта.
Фрактальные кластеры.
Фракталы как модели физических систем.
Самоподобие как фундаментальное свойство природы.
Численные методы исследования динамических систем.
Расчет отображений Пуанкаре.
Численный анализ периодических решений.
Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей.
Расчет размерности аттрактора.
Оценка топологической размерности.
Фрактальная размерность аттрактора.
Самоорганизация в нелинейных системах.
О двух тенденциях динамики — от беспорядка к порядку и обратно.
Проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем.
Стрела времени и законы динамики.
Квантово-механический и космологический парадоксы.
Причина необратимости времени в статистической физике.
Описание движения, несводимое к траекториям.
Самоорганизация в активных средах.
Бистабильные среды.
Возбудимые среды.
Автоколебательные среды.
Нелинейные волны. Солитоны.
Гиперболические и диспергирующие волны.
Солитоны.
Самоорганизация в химической кинетике.
Реакция Белоусова-Жаботинского.
Математическая модель реакций химической кинетики.
Брюсселятор.
Анализ математической модели брюсселятора.
Самоорганизация в биологических системах.
Возникновение жизни.
Математические модели выживания.
Модели роста и взаимодействия популяций.
О модели морфогенеза.
Клеточные автоматы.
Математическая модель клеточного автомата.
Игра "Жизнь"
Фильтр движущихся целей.
Клеточная модель физической реальности.
Обучающиеся системы.
Модель Изинга.
Нейронные сети.
Инвариантные сети.
Морфологический анализ изображений.
Системы со случайными шумами.
Роль флуктуации.
Случайные процессы.
Марковские случайные процессы.
Уравнение Смолуховского.
Уравнение для плотности вероятности.
Физические системы с шумами.
Уравнение Ланжевена.
Движение в потенциальном поле.
Барометрическая формула.
Нестационарные решения уравнения Фокера-Планка.
Теория второго порядка.
Сходимость в среднем квадратичном.
Корреляционная функция случайного процесса.
Непрерывность в среднем квадратичном.
Дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном.
Измерение и прогнозирование.
Теория измерительно-вычислительных систем.
Несколько неформальных определений.
Схема реального измерения.
Схема идеального измерения.
В чем состоит интерпретация измерения.
Линейная модель измерения.
Интерпретация измерений с помощью линейных измерительно-вычислительных систем.
Наблюдения с помощью датчика второго порядка.
Методы синтеза ИВС как идеальных приборов.
Схема измерений и ее математические модели.
Несмещенный синтез выходного сигнала идеального прибора.
Синтез идеального прибора с ограничением на энергию шума на его выходе.
Синтез выходного сигнала идеального прибора.
Априорные данные.
Надежность модели и надежность интерпретации.
Зачем проверять модель измерения.
Надежность модели измерения.
Надежность интерпретации.
Нечёткие модели.
Возможность и вероятность.
Математические основы теории возможностей.
Нечеткие множества и события. Алгебра нечётких множеств.
Мера возможности и мера необходимости.
Принцип относительности в теории возможностей.
Условная мера возможности.
Нечёткие элементы.
Нечёткое моделирование.
Гауссовы нечёткие элементы.
Определение гауссова нечёткого элемента.
Маргинальное распределение Условное.
распределение нечёткого гауссова элемента.
Аппроксимация нечётких гауссовых элементов.
Собственный базис нечёткого гауссова элемента.
Нечёткая динамика.
Нечёткие процессы.
Марковские нечёткие процессы.
Уравнение Смолуховского для нечётких процессов.
Однородные нечеткие процессы с независимыми приращениями.
Процессы с дискретным временем и конечным числом состояний.
Волны возможности Нечёткие процессы и наблюдения.
Распространение возможностей.
Список литературы.