М.: Наука, 1965. — 108 с. — (Математическа библиотечка).
В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне
доступных пониманию школьников и в то же время представляющих
интерес для специалистов-математиков. Некоторые из таких
результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о
комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным
образом с разбиением фигур на «меньшие» части.
Теоремы и задачи, излагаемые в книге, вошли в математику совсем недавно: самой старой из них недавно исполнилось 30 лет, а многие из теорем находятся еще в «младенческом» возрасте — они опубликованы в специальных математических журналах за последние 5 лет.
Нам кажется, что основная часть книги будет вполне доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Материал, который покажется сложным, можно пропустить. Наиболее простыми являются §§1—3, 7—10, 12—14, относящиеся к плоским фигурам. Остальные параграфы относятся к пространственным (и даже n-мерным) фигурам. Для требовательного и подготовленного читателя в конце книги сделано несколько примечаний и указан список журнальных статей и книг. Мы не считаем включение такого материала в популярную книгу недопустимым: как нам кажется, популяризация научных знаний возможна не только среди начинающих, но и среди специалистов. Изложение подводит читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов. В конце книги (§ 19) сформулированы нерешенные проблемы. Некоторые из них настолько наглядны и так просто формулируются, что размышление над их решением доступно даже способным школьникам.
В заключение — несколько слов о самой «комбинаторной геометрии». Эта новая ветвь геометрии еще не сформировалась окончательно, и потому рано говорить о предмете комбинаторной геометрии. Кроме задач, разбираемых в этой книге, к комбинаторной геометрии, несомненно, относится круг вопросов, связанных с теоремой X е л л и (см. главу 2 книги [37]), задачи о расположениях фигур (см. превосходную книгу Фейеша Тота [23]) и ряд других вопросов. Заинтересовавшемуся читателю мы очень рекомендуем также книгу Хадвигера и Дебруннера [29], посвященную задачам комбинаторной геометрии плоскости, и интереснейший обзор Грюнбаума [10], тесно соприкасающийся с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги.
Авторы пользуются случаем выразить искреннюю признательность И. М. Яглому, энтузиазм и дружеское участие которого немало содействовали улучшению текста книги. Разбиение фигур на части меньшего диаметра. Диаметр фигуры.
Постановка задачи. Решение задачи для плоских фигур. Разбиение шара на части меньшего диаметра. Решение задачи для тел в пространстве. О гипотезе Борсука для n-мерных тел. Покрытие выпуклых тел гомотетичными телами и задача освещения. Выпуклые фигуры. Постановка задачи о покрытии фигур гомотетичными. Другая формулировка задачи. Решение задачи для плоских фигур. Гипотеза Хадвигера.
Формулировка задачи освещения. Решение задачи освещения для плоских фигур.
Эквивалентность двух задач. Разбиение и освещение неограниченных выпуклых фигур. Некоторые родственные задачи. Задача Борсука в пространстве Минковского.
Некоторые нерешенные задачи
Теоремы и задачи, излагаемые в книге, вошли в математику совсем недавно: самой старой из них недавно исполнилось 30 лет, а многие из теорем находятся еще в «младенческом» возрасте — они опубликованы в специальных математических журналах за последние 5 лет.
Нам кажется, что основная часть книги будет вполне доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Материал, который покажется сложным, можно пропустить. Наиболее простыми являются §§1—3, 7—10, 12—14, относящиеся к плоским фигурам. Остальные параграфы относятся к пространственным (и даже n-мерным) фигурам. Для требовательного и подготовленного читателя в конце книги сделано несколько примечаний и указан список журнальных статей и книг. Мы не считаем включение такого материала в популярную книгу недопустимым: как нам кажется, популяризация научных знаний возможна не только среди начинающих, но и среди специалистов. Изложение подводит читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов. В конце книги (§ 19) сформулированы нерешенные проблемы. Некоторые из них настолько наглядны и так просто формулируются, что размышление над их решением доступно даже способным школьникам.
В заключение — несколько слов о самой «комбинаторной геометрии». Эта новая ветвь геометрии еще не сформировалась окончательно, и потому рано говорить о предмете комбинаторной геометрии. Кроме задач, разбираемых в этой книге, к комбинаторной геометрии, несомненно, относится круг вопросов, связанных с теоремой X е л л и (см. главу 2 книги [37]), задачи о расположениях фигур (см. превосходную книгу Фейеша Тота [23]) и ряд других вопросов. Заинтересовавшемуся читателю мы очень рекомендуем также книгу Хадвигера и Дебруннера [29], посвященную задачам комбинаторной геометрии плоскости, и интереснейший обзор Грюнбаума [10], тесно соприкасающийся с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги.
Авторы пользуются случаем выразить искреннюю признательность И. М. Яглому, энтузиазм и дружеское участие которого немало содействовали улучшению текста книги. Разбиение фигур на части меньшего диаметра. Диаметр фигуры.
Постановка задачи. Решение задачи для плоских фигур. Разбиение шара на части меньшего диаметра. Решение задачи для тел в пространстве. О гипотезе Борсука для n-мерных тел. Покрытие выпуклых тел гомотетичными телами и задача освещения. Выпуклые фигуры. Постановка задачи о покрытии фигур гомотетичными. Другая формулировка задачи. Решение задачи для плоских фигур. Гипотеза Хадвигера.
Формулировка задачи освещения. Решение задачи освещения для плоских фигур.
Эквивалентность двух задач. Разбиение и освещение неограниченных выпуклых фигур. Некоторые родственные задачи. Задача Борсука в пространстве Минковского.
Некоторые нерешенные задачи