Москва-Ленинград, ОНТИ, 1934 г. - 226 с.
Название "неевклидова геометрия" широкие круги читателей обычно
связывают с именем Лобачевского; настоящая же работа посвящена
другой неевклидовой геометрии, носящей имя немецкого математика
Римана (точнее говоря, здесь главным образом будет идти речь об
эллиптической форме ее).
К обоснованию геометрии можно подходить различными путями: чисто аналитически, или при помощи предварительного обоснования проективной геометрии, или, наконец, тем самым элементарно-синтетическим путем, которым шли Евклид и Лобачевский (но не Риман). Автор имел случай в другом месте) сравнить указанные три направления и пришел там к выводу, что элементарно-синтетический путь является основным и наиболее естественным.
Геометрия Римана особенно бедна исследованиями в этом направлении; автор старался по мере сил восполнить указанный пробел в своем "Опыте элементарного обоснования геометрии Римана".) Настоящая книга является сокращенным изложением названной работы; мы имеем в виду ознакомить читателя со всеми особенностями эллиптической геометрии, и, путем вывода тригонометрических формул и начал аналитической геометрии, открыть ему широкую дверь для более глубокого знакомства с геометрией Римана.
Развитие неевклидовой геометрии способствовало более глубокому познанию действительности; достаточно вспомнить, что принцип относительности имеет своей основой общую геометрию Римана. Неевклидовы геометрии в узком смысле этого слова (геометрии Лобачевского и Римана) являются первым шагом на пути этих обобщений.
При доказательстве теорем геометрии мы опираемся на аксиомы; последние имеют двойственную природу : с одной стороны, они являются заключением геометрического исследования, а с другой - его началом. Действительно, только после 2000-летнего развития геометрии, в результате логической переработки исторически накопленных знаний, мы пришли к сколько-нибудь выработанной системе аксиом; особенно нелегким был этот вопрос для геометрии Римана. Но для тoгo, чтобы начать построение геометрии, надо указать тот фундамент, на котором мы будем строить, так что во главе приходится ставить аксиомы, выработанные предшествующим развитием науки. В дальнейшем само это построение может способствовать более правильному и более глубокому решению вопроса об аксиомах. При изложении геометрии Римана, имеющей весьма существенные отличия от некоторых казалось бы незыблемых положений евклидовой геометрии, особенно важно было решить вопрос об аксиомах, являющихся опорой для исследователя. По той же причине автор избрал аксиоматический метод построения, как могущий предохранить от ошибок в неизведанной области. Вследствие этого некоторые места книги (ее начало, учение о смысле геометрических фигур) имеют ясно выраженный формальный характер; но автор не видел, как можно обойтись без этого. В частности, учение о смысле позволяет выяснить до конца такую важную особенность эллиптической геометрии, как односторонность ее плоскости. Предисловие
Введение
Обоснование геометрии положения
Учение о геометрическом равенстве
Взаимное положение двух окружностей
Площадь треугольника
Полярность в элллиптическом пространстве
Параллели Клиффорда
Поверхность Клиффорда
Вывод тригонометрических зависимостей
Длина окружности и площадь круга
Евклидова геометрия на поверхности Клиффорда
Начала приложения анализа к геометрии
Смысл геометрических образов
Правая и левая параллельность
Односторонность эллиптической плоскости
Заключение
К обоснованию геометрии можно подходить различными путями: чисто аналитически, или при помощи предварительного обоснования проективной геометрии, или, наконец, тем самым элементарно-синтетическим путем, которым шли Евклид и Лобачевский (но не Риман). Автор имел случай в другом месте) сравнить указанные три направления и пришел там к выводу, что элементарно-синтетический путь является основным и наиболее естественным.
Геометрия Римана особенно бедна исследованиями в этом направлении; автор старался по мере сил восполнить указанный пробел в своем "Опыте элементарного обоснования геометрии Римана".) Настоящая книга является сокращенным изложением названной работы; мы имеем в виду ознакомить читателя со всеми особенностями эллиптической геометрии, и, путем вывода тригонометрических формул и начал аналитической геометрии, открыть ему широкую дверь для более глубокого знакомства с геометрией Римана.
Развитие неевклидовой геометрии способствовало более глубокому познанию действительности; достаточно вспомнить, что принцип относительности имеет своей основой общую геометрию Римана. Неевклидовы геометрии в узком смысле этого слова (геометрии Лобачевского и Римана) являются первым шагом на пути этих обобщений.
При доказательстве теорем геометрии мы опираемся на аксиомы; последние имеют двойственную природу : с одной стороны, они являются заключением геометрического исследования, а с другой - его началом. Действительно, только после 2000-летнего развития геометрии, в результате логической переработки исторически накопленных знаний, мы пришли к сколько-нибудь выработанной системе аксиом; особенно нелегким был этот вопрос для геометрии Римана. Но для тoгo, чтобы начать построение геометрии, надо указать тот фундамент, на котором мы будем строить, так что во главе приходится ставить аксиомы, выработанные предшествующим развитием науки. В дальнейшем само это построение может способствовать более правильному и более глубокому решению вопроса об аксиомах. При изложении геометрии Римана, имеющей весьма существенные отличия от некоторых казалось бы незыблемых положений евклидовой геометрии, особенно важно было решить вопрос об аксиомах, являющихся опорой для исследователя. По той же причине автор избрал аксиоматический метод построения, как могущий предохранить от ошибок в неизведанной области. Вследствие этого некоторые места книги (ее начало, учение о смысле геометрических фигур) имеют ясно выраженный формальный характер; но автор не видел, как можно обойтись без этого. В частности, учение о смысле позволяет выяснить до конца такую важную особенность эллиптической геометрии, как односторонность ее плоскости. Предисловие
Введение
Обоснование геометрии положения
Учение о геометрическом равенстве
Взаимное положение двух окружностей
Площадь треугольника
Полярность в элллиптическом пространстве
Параллели Клиффорда
Поверхность Клиффорда
Вывод тригонометрических зависимостей
Длина окружности и площадь круга
Евклидова геометрия на поверхности Клиффорда
Начала приложения анализа к геометрии
Смысл геометрических образов
Правая и левая параллельность
Односторонность эллиптической плоскости
Заключение