Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
)(
lim
)()(
0
ppYy
p
. (7.2)
При y
*
(t)4=41(t) получим
ppWpYpWpY /)()()()(
*
,
тогда
)(lim
1
)(lim)(
00
pW
p
ppWy
pp
. (7.3)
Заметим, что если от выражения (7.1) взять предел при
p,;то
)(lim)0( ppYy
p
. (7.4)
Выражения (7.3) и (7.4) являются теоремами соответственно
о конечном и начальном значениях оригинала y(t).
Напомним, что для статических систем ()4=4;;0, а для
астатических – ()4=40.
Переходные процессы для астатических систем при подаче
возмущения со стороны нагрузки представлены на рис.7.3.
7.2. Косвенные методы
Эти методы обычно используют связь между параметрами
системы и показателями качества. К ним относят корневые методы,
интегральные оценки и частотные критерии качества.
1.;Корневые методы. Уравнение переходного процесса в
общем случае имеет вид
81
1
y(0) = y()
y
= 0
y
= 0
2
Рис.7.3
1 и 2 – колебательный и апериодический процессы
y(0) = y()
n
i
t
i
p
i
ckty
1
e)(
,
где k4=4y(); p
i
– корни характеристического уравнения, лежащие в
левой полуплоскости.
О характере переходного процесса можно судить по
расположению корней на комплексной плоскости (рис.7.4,;а).
Наиболее медленно затухают те составляющие y(t), которые
имеют наибольшую постоянную времени T
i,
т.е. корень с
наименьшей вещественной частью по абсолютной величине,
например p
min
4=4p
1
. Чем дальше от мнимой оси расположены корни
характеристического уравнения, тем дальше от границы
устойчивости находится система и тем выше быстродействие
системы. Для оценки быстродействия используют понятие степени
устойчивости системы, под которым понимают расстояние от
мнимой оси до ближайшего корня.
82
j
k
–j
k
p
1
p
3
k
+
+j
p
2
а
= 0,05y
y
= k
0,95y
t
p
y
t
б
t
y
x
(t)
t
1
y
1 max
y
2 max
T
k
в
Рис.7.4
Величина p
min
может служить для оценки скорости затухания
переходного процесса, так как составляющая переходного процесса,
обусловленная этим корнем, затухает медленнее других. Тогда
можно записать:
)e1()(
min
tp
kty
.
Всеми остальными составляющими переходного процесса можно
пренебречь, так как они затухают быстрее.
Положив 4=4 0,05y
4=40,05k, можно найти t
p
(рис.7.4,;б).
Имеем
)e1(95,0
min p
tp
kk
или
p
tp
min
e05,0
. Откуда
max
min
3
05,0
1
ln
1
T
p
t
p
,
где
minmax
/1 pT
.
В общем случае
/1ln
max
Tt
p
.
Наличие комплексных сопряженных корней
характеристического уравнения p
k
4=4–
k
;;j
k
свидетельствует о
существовании колебательной составляющей в уравнении движения
системы (рис.7.4,;в):
)sin(e)(
tAty
k
t
k
k
.
Для оценки скорости затухания колебательного процесса
используют логарифмический декремент (убавление – лат.) затухания
d:
kk
k
T
k
kkk
k
Tt
k
k
t
k
T
TtA
tA
y
y
d
eln
)sin(e
)sin(e
lnln
1
)
1
(
1
1
max2
max1
.
Введем обозначение
kk
/
, тогда
/2)/(
kk
Td
.
Таким образом, чем меньше , тем больше d, и,
следовательно, тем скорее затухает переходный процесс. При
k
4=40
получим 4=40, d4=4, и, следовательно, колебания отсутствуют;
83
при
k
4=40 имеем 4=4, d4=40, и, следовательно, колебания не
затухают.
2.;Интегральные оценки. Они имеют целью дать общую
оценку скорости затухания и размера отклонения управляемой
координаты без определения того или другого в отдельности.
Простейшей интегральной оценкой может служить площадь
между новым значением выходной величины y
и его текущим
значением y(t)
0
1
)( dttI
. (7.5)
При этом (t)4=4y
y(t) является текущей динамической ошибкой
системы (рис.7.5, а).
Для вычисления интеграла (7.5) можно воспользоваться
преобразованием Лапласа для ошибки системы. Имеем
)}({ tL
0
e)()( dttp
pt
, откуда
1
0
0
)()(lim Idttp
p
. (7.6)
В нашем случае при y
*
(t)4=41(t);
ppY /1)(
*
имеем
)()}({)( pY
p
y
tyyLp
.
84
y
W
p
(p)
y*
t
y
t
t
y
y
y
I
1
I
1
а
б в
Рис.7.5
Учтя, что Y(p)4=4W(p)Y
*
(p) и
)0()(lim
0
WppYy
p
,
получим
ppWWp /)()0()(
, а затем, воспользовавшись
(7.6), найдем I
1
.
Недостаток интегральной оценки вида (7.5) состоит в том,
что она годится только для монотонных процессов (рис.7.5,;б). Если
же имеют место колебания (рис.7.5,;в), то алгебраическое сложение
площадей может привести к ситуации, когда при больших
колебаниях I
1
4=4min.
В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего
применяют квадратичный интегральный критерий вида
0
2
2
)( dttI
. (7.7)
Этот критерий не зависит от знака (t) и, следовательно, может быть
применен как для монотонных, так и для колебательных процессов.
Критерии I
1
и I
2
являются функциями параметров системы,
изменяя которые можно минимизировать интегральные оценки.
Существуют методы, позволяющие вычислить критерий I
2
,
не решая ДУ системы. В частности, учитывая, что
(j)
2
4=4(j)(–j) и
dttj
tj
e)()(
, и взяв
следующий табулированный интеграл, получим
dttdjdj
tj
e)()(
2
1
)(
2
1
2
2
2
)(e)(
2
1
)( Idttdjdtt
tj
.
Здесь
)/()()0()()(
jjWWpj
jp
.
Поскольку частотная функция системы W(j) зависит от
параметров системы (коэффициентов усиления k
i
и постоянных
времени T
j
динамических звеньев), можно записать
),(
2 ji
TkfI
.
Исследуя полученную зависимость на экстремум, можно найти
значения изменяемых параметров k
i
и T
j
, при которых
удовлетворяется условие I
2
4=4min.
85
Заметим, что минимизация интегральной квадратичной
ошибки вида (7.7) приводит к большим перерегулированиям
переходного процесса (до 20;% от установившегося значения y
). В
связи с этим применяют и иные критерии, учитывающие не только
размер ошибки, но и скорость ее изменения
dtttI )]()([
222
3
, (7.8)
где – весовой коэффициент, который определяет значимость
второго слагаемого подынтегральной функции.
В данном случае помимо ограничения на размер ошибки (t)
налагается ограничение на скорость ее изменения
)(t
. В
результате чего мы получаем достаточно быстрые и достаточно
плавные переходные процессы.
Иногда кроме указанных ограничений учитывают также
ограничение на ускорение. Тогда критерий принимает вид
dttttI )]()()([
22
2
22
1
2
4
. (7.9)
Подчеркнем, что все рассмотренные интегральные оценки
являются функцией параметров системы, следовательно, их можно
минимизировать, изменяя параметры системы и прежде всего
устройства управления.
3.;Частотные критерии качества. Эти критерии
базируются на некоторых свойствах частотной функции и, в силу ее
связи с временными характеристиками, позволяют судить о качестве
переходного процесса.
86
Например, оценка качества переходного процесса по АФЧХ
разомкнутой системы производится следующим образом. Пусть
структурная схема системы имеет вид, показанный на рис.7.6,;а.
Тогда частотная функция разомкнутой системы
3
1
p
)()(
n
i
i
jWjW
.
Годограф вектора W
p
(j) для устойчивой системы
представлен на рис.7.6,;б. В хорошо демпфированных системах (при
;<;5;%) p
1
4=40,10,5;
1
;;3060
о
.
Оценка качества переходного процесса может быть также
произведена по АЧХ замкнутой системы (рис.7.6,;в).
Максимальное значение АЧХ – M
max
, соответствующее
резонансной (собственной) частоте
p
, может служить показателем
колебательности. Чем больше M
max
, тем выше склонность системы
к;колебаниям. В хорошо демпфированных системах M
max
;;1,11,5.
Частота, при которой A(
c
)/A(0)4=41, определяет частоту
среза
с,
которая характеризует полосу пропускания частот. Чем
шире полоса пропускания частот, т.е. чем больше
с
, тем быстрее
87
Рис.7.6
,; p
1
– запас устойчивости замкнутой системы
по модулю;
1
4=42;–;
1
– запас устойчивости системы по фазе;
с
– частота среза, при которой W
p
(j
)4=41
W
1
(p) W
2
(p) W
3
(p)
y
y
*
а
б
=
1
1
+
= 0
W
p
(j
)
c
+j
–1; j0
p
1
)0(
)(
A
A
р
с
1
M
max
в
протекают переходные процессы, поэтому эта частота может
служить мерой быстродействия системы.
Существуют и другие методы оценки качества переходных
процессов в системе по ее частотным характеристикам. Например,
учитывая, что для минимально-фазовых систем существует
однозначная связь между переходной функцией h(t) и вещественной
частотной характеристикой P(), можно, анализируя последнюю,
получить ряд оценок качества переходного процесса. В частности,
если P() представляет собой положительную невозрастающую
функцию, то перерегулирование не превышает 18;%, если
ddP /)(
отрицательная, убывающая по модулю, непрерывная
функция, то имеет место монотонный переходный процесс.
8. МЕТОДЫ СИНТЕЗА АСУ
Под синтезом АСУ понимают создание системы,
обладающей требуемыми свойствами.
Задача синтеза обычно решается исходя из следующих
посылок: в любой АСУ можно выделить неизменяемую (объект
управления ОУ) и изменяемую (устройство управления УУ) части.
Следовательно, для получения системы с заданными свойствами
необходимо определить структуру и параметры изменяемой части
системы, иными словами, определить зависимость, связывающую
входные и выходные сигналы изменяемой части системы. Эти
зависимости называются законами управления или регулирования.
8.1. Законы регулирования в линейных АСУ
Пусть дана АСУ (рис.8.1). В данном случае изменяемая
часть системы УУ формирует управляющее воздействие u(t) в
зависимости от сигнала ошибки:
(t)4=4y
*
(t);–;y(t).
88
Зависимость, связывающая u и , т.е. u(t)4=4F{(t)},
называется законом регулирования.
В некоторых случаях в устройство управления может
подаваться информация о возмущающих воздействиях f(t), т.е. закон
регулирования примет вид
u(t)4=4F{(t), f(t)}.
Рассмотрим линейные законы регулирования, при которых
устройства управления вырабатывают величину u(t) в функции
ошибки (t) в соответствии со следующим соотношением:
dt
td
kdttktktu
t
)(
)()()(
3
0
21
. (8.1)
1.;Пропорциональный закон регулирования (П-регулятор).
Управляющее воздействие
u(t)4=4k
1
(t), (8.2)
где W
у
(p)4=4k
1
.
Если W
o
(p)4=4k
o
, то передаточная функция замкнутой
системы по ошибке
1op
*
1
1
)(1
1
)(
kkpW
pW
y
,
а установившаяся ошибка
1o
*
*
0
)(
*
)(1)(
*
0
1
)()(lim)(lim)(
kk
A
pYppWpp
y
p
p
A
pY
tAty
p
.
89
W
у
(p)
W
o
(p)
y
*
u
y
f
УУ
ОУ
Рис.8.1
Таким образом, ошибка () в рассматриваемой системе
пропорциональна задающему воздействию y
*
и обратно
пропорциональна коэффициенту усиления в разомкнутой системе
k
p
4=4k
o
k
1
. При этом ();;0, т.е имеем статическую систему.
Поскольку управляющее устройство реализуется с помощью
усилительного (безынерционного) звена, система обладает
относительно высоким быстродействием. Если полученные
характеристики системы удовлетворяют технологическим
требованиям, то задача синтеза решена.
2.;Интегральный закон регулирования (И-регулятор).
Управляющее воздействие
t
dttktu
0
2
)()(
, (8.3)
где
pkpW /)(
2у
.
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
2о2о
*
/1
1
)(
kkp
p
pkk
pW
y
.
Тогда при y
*
(t)4=4A1(t) получим
0lim)(
2о
0
kkp
Ap
p
.
Таким образом, рассмотренная система обладает высокой
точностью в установившемся режиме и относится к классу
астатических. При реализации И-регулятора увеличивается
склонность системы к колебаниям, что обусловлено снижением
быстродействия регулятора.
Заметим, что система, астатическая по задающему
воздействию y
*
, может оказаться статической по возмущению f.
Например, при
pkpW
ffy
/)(
и f(t)4=4B1(t) получим
)/()(
2о
kkBk
ff
, т.е. имеет место статическая ошибка по
возмущению.
3.;Пропорционально-интегральный закон регулирования
(ПИ-регулятор). Когда желательно сочетать в установившемся
режиме высокую точность интегрального регулятора с большим
90