Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Обозначим
,2;
1o
2
1o
T
kk
T
T
kk
TT
u
u
u
u
(8.12)
тогда
12
1
)(
221
y
1
TppT
pW
u
.
Таким образом, замкнутая система описывается линейным
ДУ второго порядка, переходная функция h(t) которого зависит от
величины коэффициента демпфирования .
Из соотношений (8.12) имеем
Tkk
T
TT
kk
kk
T
kTk
T
u
u
u
u
u
u
u
u
1o
1o
1o1o
2
1
2
1
2
. (8.13)
Известно, что при
707,02/2
перерегулирование
4=44,3;<;5;%. Следовательно, требования к качеству переходного
процесса в системе будут удовлетворены. Подставив данное
числовое значения в (8.13) и;учитывая, что T
u
4=4T
o1
, найдем
значение k
u
:
Tk
T
Tk
T
k
u
u
1o
1o
1o
22
. (8.14)
Выражение (8.14) дает оптимальное в смысле 4=4
зад
и t
p
4=4min
значение k
u
, при этом
pTk
kpW
u
1
2
1
)(
1o
1у
.
Таким образом, параметры ПИ-регулятора следующие:
Tk
T
kk
u
1o
1o
1
2
;
TkT
k
k
u
u
1o
2
2
1
. (8.15)
При этом статическая ошибка системы
0)(lim)()(lim)(lim)(
1
0
)(1)(
1
00
pWpUppWpp
u
p
ttu
u
pp
,
101
где
1)1(
)1(
)(1
1
)(
1o
p
1
pTpT
pTpT
pW
pW
u
u
.
Аналогично рассчитывают остальные контуры, причем
внутренние контуры принимают в качестве звена объекта управления.
*;*;*
Таким образом, при синтезе систем подчиненного
управления нужно руководствоваться следующими правилами.
1.;Каждому звену с большой постоянной времени объекта
управления должно соответствовать звено с обратной передаточной
функцией и такой же постоянной времени в составе управляющего
устройства.
2.;Значения коэффициентов пропорциональности при
пропорциональной и интегральной частях должны быть выбраны в
соответствии с соотношениями (8.15).
Заметим, что если в составе объекта управления имеется
интегрирующее звено, то передаточная функция устройства
управления для реализации поставленных целей должна содержать
только пропорциональную часть, т.е. W
у1
(p)4=4k
1
, где k
1
определяется
выражением (8.15).
8.3. Принцип инвариантности
Инвариант (неизменяющийся – фр.) – выражение,
остающееся неизменным при определенном преобразовании
входящих в;него переменных. В теории автоматического управления
под инвариантными понимают системы, в которых выходная
величина инвариантна к возмущающим воздействиям.
Примером инвариантной системы может служить мостовая
схема, применяемая в системах измерения (рис.8.10). Здесь при
условии соблюдения баланса
4321
RRRR
ток в одной из
диагоналей i не зависит от напряжения U, подводимого к другой
диагонали.
Для достижения полной инвариантности некоторой
координаты y
j
(t) относительно значения возмущающего воздействия
102
f
i
(t) необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция W
fy
(p)
между внешним воздействием f
i
(t) и входом измерительного
устройства y
j
(t) была тождественно равна нулю при отсутствии
прочих воздействий и нулевых начальных условиях. При ненулевых
начальных условиях ставится цель сделать тождественно равной
нулю вынужденную составляющую решения дифференциального
уравнения, причем собственная (переходная) составляющая,
обусловленная ненулевыми начальными условиями, может быть
отличной от нулевого значения.
Рассмотрим схему системы управления по отклонению
(рис.8.11). Известно, что
)()()( pFpWpY
fy
, где для данного
случая
)()()(1
)(
)(
иОСo
o
pWpWpW
pW
pW
fy
,
где
)(
o
pW
,
)(
и
pW
,
)(
OC
pW
– передаточные функции объекта
управления, измерительного элемента и обратной связи; y
*
, y, y
1
–
заданное, текущее и измеренное значения выходной величины; –
отклонение измеренного значения выходной величины y
1
от
заданного y
*
; f – возмущающее воздействие.
Поскольку
)(
o
pW
и
)(
и
pW
заданы, достигнуть
абсолютной инвариантности можно только при
)(
OC
pW
, т.е.
при очень большом коэффициенте усиления в составе обратной
связи, который обратит
)( pW
fy
в ноль.
Передаточная функция по каналу управления y
*
может и не
быть равной нулю:
103
i
R
1
R
2
R
3
R
4
А
U
Рис.8.10
f
y
y
1
y
*
Рис.8.11
W
ОС
(р)
W
о
(р)
W
и
(р)
)()()(1
)()(
)(
иОСo
ОСo
*
pWpWpW
pWpW
pW
yy
;
при
)(
ОС
pW
)(
1
)(
и
*
pW
pW
yy
.
К такому результату и стремятся при создании абсолютно
инвариантных систем, так как необходимо достичь инвариантности
выходной координаты и не потерять возможность передавать
информационные сигналы.
Для получения
)(
OC
pW
применяют внутреннюю
положительную обратную связь. При этом
)](/)()][(/)([1
)(/)(
)()(1
)(
)(
2211
11
21
1
ОC
pApBpApB
pApB
pWpW
pW
pW
)()()()(
)()(
2121
21
pBpBpApA
pApB
, (8.16)
где W
1
(p), W
2
(p) – передаточные функции звеньев, являющихся
составными частями обратной связи объекта, представленной в виде
внутренней положительной обратной связи (звено с передаточной
функцией W
1
(p) в составе обратной связи объекта охвачено
положительной обратной связью с передаточной функцией W
2
(p)).
Условие инвариантности сводится к равенству нулю
знаменателя (8.16):
0)()()()(
2121
pBpBpApA
.
Заметим, что для выполнения условия инвариантности
требуются устройства, выполняющие операцию идеального
дифференцирования. Небольшая ошибка при этом может привести к
появлению в дифференциальном уравнении отрицательных членов
и, следовательно, неустойчивости. Такие системы, по определению
академика Андронова, являются «негрубыми».
Таким образом, требования инвариантности и устойчивости
противоречивы, и это противоречие появляется вследствие того,
104
что,;приближаясь к абсолютно инвариантной, система может стать
«негрубой».
Рассмотрим вопрос о физической осуществимости
абсолютно инвариантных систем. Условие реализуемости
заключается в требовании обеспечения состояния абсолютной
инвариантности как в замкнутом, так и в разомкнутом состояниях
системы.
Действительно, для замкнутой системы имеем
)(
)(
)](1)[(
)(
)(1
)(
)(
зppр
o
з
pD
pM
pWpD
pM
pW
pW
pW
fy
(8.17)
или
)(
)(
)(
)(
з
pF
pD
pM
pY
Для разомкнутой системы
)(
)(
)()(
р
oр
pD
pM
pWpW
(8.18)
или
)(
)(
)(
)(
р
pF
pD
pM
pY
.
В обоих случаях абсолютная инвариантность достигается при
0)( pM
.
Выражения (8.17) и (8.18) могут отличаться только потому,
что для выполнения условия инвариантности необходимо иметь
0)(
з
pD
и
0)(
р
pD
. Первое условие всегда выполняется при
0)(
р
pD
. Следовательно, условие
0)(
р
pD
является
необходимым для физически осуществимой инвариантной системы.
Кроме того, необходимо, чтобы передаточная функция
корректирующего устройства
nn
nn
mm
mm
apapapa
bpbpbpb
pW
...
...
)(
1
10
1
1
10
к
105
удовлетворяла условию
nm
. (8.19)
Как уже отмечалось, для достижения инвариантности
)(ty
j
относительно
)(tf
i
необходимо и достаточно, чтобы
0)( pW
fy
.
Этого можно добиться и в системах, работающих по возмущению,
для;чего
)( pW
fy
нужно представить в виде разности двух
передаточных функций, одна из которых является корректирующей:
)()()(
кo
pWpWpW
fy
.
Тогда критерий реализуемости абсолютно инвариантной
системы можно интерпретировать следующим образом:
необходимым (но недостаточным) признаком физической
реализуемости и абсолютной инвариантности системы является
наличие в схеме по меньшей мере двух каналов передачи
возмущающего воздействия между начальным приложением
возмущения и той точкой, относительно которой стремятся достичь
инвариантности. Принцип двухканальности является основной
идеей при выборе рациональной структуры абсолютно
инвариантных систем, но не заменяет условий физической
реализуемости, приведенных выше.
В комбинированных системах управления выполнение
условий инвариантности требует также создания противодействия,
равного по значению, но противоположного по знаку
возмущающему воздействию.
➢ Приме р16. Пусть имеем двухконтурную систему
стабилизации, изображенную на рис.8.12.
Для удовлетворения условий инвариантности требуется,
чтобы передаточная функция
)( pB
была равна по величине, но
обратна по знаку передаточным функциям звеньев второго канала,
по которому передается возмущение:
106
0)(
)()(1
)(
)()(
2
1
1
pY
pNpY
pY
pLpB
или
)()(
)()(1)(
)(
21
1
pYpY
pNpYpB
pL
.
При выполнении условия (8.19) компенсирующее звено
)( pL
физически реализуемо.
В отличие от систем стабилизации по отклонению, системы,
основанные на комбинированном принципе управления, не имеют
противоречия между условиями устойчивости и инвариантности.
Отметим, что инвариантность системы по отношению
к;внешнему неизменяющемуся воздействию
constf
достигается
в;астатической системе первого порядка. Действительно, для
замкнутой астатической системы при
pKpW /)(
ОС
имеем
)(
)(
)(
)(
o
o
pF
KpWp
ppW
pY
.
Отсюда видно, что
)(ty
в установившемся режиме не зависит от
constf
.
Аналогично можно показать, что астатическая система
второго порядка отрабатывает без статической ошибки любые
постоянные сигналы и любые линейные функции времени. Эти
107
f
y
*
)( pL
)( pB
)(
1
pY
)(
2
pY
)( pM
y
Рис.8.12
)( pN
рассуждения можно распространить на астатические системы
любого порядка.
➢;;;Приме р17. Рассмотрим систему стабилизации частоты
вращения двигателя постоянного тока, изображенную на рис.8.13.
Задание частоты вращения производится потенциометром П в виде
пропорционального положению контакта напряжения U
0
. Это
напряжение сравнивается с;напряжением U
1
, вырабатываемым
датчиком частоты вращения двигателя, который представляет
собой тахогенератор ТГ. Рассогласование U
2
;=;U
0
;–;U
1
поступает на
вход усилителя, на выходе которого включена обмотка управления
электромашинного усилителя (ЭМУ). Якорь ЭМУ соединен с
якорем управляемого двигателя;Д. В зависимости от знака и
величины рассогласования U
2
напряжение на ЭМУ изменяется,
поддерживая частоту вращения двигателя Д в заданных пределах.
По принципу действия данная система является статической (закон
управления пропорциональный). Для повышения точности системы
вводится
вспомогательная цепь
управления по
возмущению (моменту
сопротивления,
приложенному к валу
двигателя). Датчик
момента ДМ подает
сигнал U
3
на вход
корректирующего
устройства КУ, выходной
сигнал U
4
, с;которого
суммируется с;рассогласованием;U
2
.
Электродвигатель в данном случае имеет две степени
свободы, так как его частота вращения зависит от ЭДС в главной
цепи Е и;от момента сопротивления
с
М
, т.е.
),(
c
MEf
.
Следовательно, для двигателя необходимо записать два уравнения:
уравнение равновесия ЭДС в цепи якоря
108
+
U
1
КУ
ДМ РМ
ЭМУ
Д
ТГ
П
М
с
U
2
U
0
U
3
U
4
U
5
Рис.8.13
ЕKir
Е
яя
; (8.20)
и уравнение движения привода
ся
MiK
dt
d
J
M
. (8.21)
Исключив из (8.20) и (8.21) ток
я
i
, получим
с
яя
ME
r
К
r
КК
dt
d
J
МЕМ
или
c
я
o
)1( M
KK
r
K
E
pT
EME
,
где Т
о
– электромеханическая постоянная,
)/(
яo ЕМ
ККJrT
.
Передаточная функция двигателя по каналу
Е
будет
иметь вид
)1(
1
)(
0
Д
pTK
pW
E
E
,
а по каналу
с
M
)1(
)(
0
я
Д
pTKK
r
pW
МE
M
.
Передаточная функция ЭМУ с учетом инерционности
обмотки управления
1
Т
и поперечной цепи
2
Т
имеет вид
)1)(1(
)(
21
1
ЭМУ
pTpT
K
рW
.
Тахогенератор, усилитель и датчик момента можно считать
безынерционными звеньями, тогда
;)(
2ТГ
KpW
;)(
3У
KpW
4ДМ
)( KpW
. Структурная схема системы показана на рис.8.14.
Для определения условий инвариантности запишем
передаточную функцию по возмущению с учетом двухканальности в
виде:
109
)(1
)()()()(
)(1
)(
)(
p
ДЭМУУкДМ
p
Д
pW
WpWpWpWрW
pW
рW
pW
ЕМ
М
,
где
)()()()()(
ТГ
ДЭМУУp
рWрWpWpWpW
Е
.
Тогда
)(
)(
)()](1[
)()()()()(
)(
зТГp
pкДМДТГ
рD
pM
pWpW
pWpWpWpWрW
pW
M
M
.
Учитывая условие инвариантности (равенство нулю
числителя
)( рМ
), имеем
)()(
)()(
)(
рДМ
ТГД
к
рWрW
рWрW
pW
М
. (8.22)
После подстановки в (8.22) значений соответствующих
передаточных функций, имеем
431
21я
к
)1)(1(
)(
KKKK
pTpTr
pW
M
или
21
2
0к
)( apapapW
.
110
)(
ЭМУ
pW
)(
Д
pW
E
)(
Д
pW
M
)(
ДМ
pW
)(
ТГ
pW
)(
У
pW
Е
М
с
U
1
U
2
Рис.8.14
W
к
(p)