Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Временные характеристики: переходная функция
kth
ttx
)(1)(
)(
(рис.4.1, г); функция веса w(t)4=4h(t)4=4k(t).
4.2. Апериодическое звено первого порядка
Уравнение динамики
kxyyT
или
)()()1( pkXpYTp
.
Передаточная функция
1)(
)(
)(
Tp
k
pX
pY
pW
.
АФЧХ
)()(
11
1
)(
2222
jQP
T
kT
j
T
k
Tj
k
jW
.
На комплексной плоскости W(j) годограф АФЧХ
представляет собой уравнение окружности с радиусом, смещенным
по оси абсцисс на k/2 (рис.4.2, а)
31
Рис.4.1
+j
k
а
+j
k
а
k
A()
б
k
t
y;=;h(t)
г
()
в
+
4
)(
2
)(
2
2
2
k
Q
k
P
;
АЧХ (рис.4.2, б)
1
)()(
22
T
k
jWA
;
ФЧХ (рис.4.2, в)
)arctg(
)(
)(
arctg)( T
P
Q
.
Временные характеристики: переходная функция (рис.4.2,;г)
h(t)4=4k(1-e
–t / T
); функция веса (рис.4.2, д)
Tt
Tkthtw
/
e)/()()(
.
32
+
k/2
= 0
+j
k
а
A()
k
б
()
–/2
в
k
t
h(t)
T
г
Рис.4.2
w(t)
t
д
k/Т
4.3. Апериодическое звено второго порядка
Уравнение динамики
kxyyTyT
2
2
(при ;>;1) или
)()()1ξ2(
22
pkXpYpTpT
.
Характеристическое уравнение
01ξ2
22
pTpT
.
Корни характеристического уравнения вещественные и
отрицательные:
T
p
1
2
2,1
;
2
2
1
1
1
;
1
T
p
T
p
.
Известно, что
TTT
TTT
2
21
2
21
, откуда, зная T и (из
характеристического уравнения), можно найти T
1
и T
2
, а затем p
1
и
p
2
.
Передаточная функция
)1(
1
)1(
1ξ2
)(
)(
)(
21
22
pTpT
k
pTpT
k
pX
pY
pW
,
т.е. апериодическое звено второго порядка можно представить в
виде двух звеньев первого порядка.
Частотные характеристики: АФЧХ (рис.4.3, а)
33
2222
22
22
)ξ2()1(
)1(
ξ2)1(
)(
TT
Tk
TjT
k
jW
)()(
)ξ2()1(
ξ2
2222
jQP
TT
kT
j
при
2
T
2
4=41,
T/1
, P()4=40;
АЧХ (рис.4.3, б)
2222
)ξ2()1(
)(
TT
k
A
;
ФЧХ (рис 4.3, в)
22
1
ξ2
arctg)(
T
T
.
34
k
A()
б
()
–/2
–
= 1/T
в
t
h(t)
t
1
г
w(t)
tt
1
д
Рис.4.3
–j
= 1/T
+
=
= 0
+j
k
W(j
)
а
Временные характеристики: переходная функция (рис.4.3,;г)
kCCth
tptp
2
2
1
1
ee)(
; весовая функция (рис.4.3,;д)
)()( thtw
.
Постоянные C
1
и C
2
находят из начальных условий h(0)4=
=4h(0)4=40. Окончательно получим
2
21
2
1
21
1
ee1)(
T
t
T
t
TT
T
TT
T
kth
;
21
21
ee)(
T
t
T
t
TT
k
tw
.
4.4. Колебательное звено
Уравнение динамики
kxyyTyT
ξ2
2
(при 0;<;;<;1)
или
)()()1ξ2(
22
pkXpYpTpT
.
Характеристическое уравнение
01ξ2
22
pTpT
,
корни:
T
p
1
2
2,1
;
TT
jp
2
2,1
1
;;
.
Имеем комплексные сопряженные корни с отрицательной
вещественной частью. В данном случае звено второго порядка
является элементарным, т.е. не делится на более простые.
Передаточная функция
1ξ2
)(
)(
)(
22
pTpT
k
pX
pY
pW
.
35
Частотные характеристики описываются теми же
выражениями, что и в предыдущем случае: АФЧХ
TjT
k
jW
ξ2)1(
)(
22
;
АЧХ (рис.4.4, а)
2222
)ξ2()1(
)(
TT
k
A
;
ФЧХ (рис.4.4, б)
22
1
ξ2
arctg)(
T
T
.
При этом амплитудно-частотная характеристика может
увеличиваться до определенной частоты (резонансной), а затем
снова уменьшаться.
36
д
t
k
h(t)
Рис.4.4
k
A()
= 0
= 0,2
= 0,7
> 1
а
= 0,7
= 0,2
–/2
–
()
б
г
w(t)
t
k
k
t
h(t)
0,2k
= 0,7
= 0,5
в
Временные характеристики: переходная характеристика
)]sin(e1[)(
)(1
tAkth
t
tx
, где A и – постоянные
интегрирования, определяемые из нулевых начальных условий:
;1/1
2
A
2
1arcsin
; весовая функция
)()( thtw
.
Из изложенного вытекает, что коэффициент определяет
характер переходного процесса для звена второго порядка. Чем
больше этот коэффициент, тем меньше склонность звена к
колебаниям. При ;>;1 колебания отсутствуют. Коэффициент
называется коэффициентом демпфирования (успокоителя
колебаний).
При 4=40 имеем
0
2
yyT
; p
1,2
4=4;j, тогда h(t)4=
=4k[1;–;cost], где
T/1
.
В этом случае в системе возникают незатухающие колебания,
что свидетельствует об отсутствии потерь энергии (замкнутая система),
поэтому звено вида
kxyyT
2
называют консервативным.
4.5. Интегрирующее звено
Уравнение динамики
kxy
или
t
xdtky
0
.
Преобразовав это уравнение по Лапласу, получим pY(p)4=4kX(p).
Передаточная функция
p
k
pX
pY
pW
)(
)(
)(
.
37
Частотные характеристики: АФЧХ (рис.4.5,;а)
jp
pWjW )()(
k
j
j
k
;
АЧХ (рис.4.5,;б,;в)
2)(
)(
arctg)(;)()(
P
Qk
jWA
.
Временные характеристики: переходная функция
ktthty
tx
)()(
)(1
(рис.4.5, г), следовательно, до тех пор, пока
x4;0, h(t) будет изменяться; функция веса w(t)4=4h(t)4=4k.
4.6. Дифференцирующее звено
38
Рис.4.5
–/2
()
в
=
+j
W(j
)
0
–/2
а
+
t
г
tg = k
h(t)
A()
б
Уравнение динамики
xky
или Y(p)4=4kpX(p).
Передаточная функция
kp
pX
pY
pW
)(
)(
)(
.
Частотные характеристики: АФЧХ
jkjW )(
(рис.4.6,
а); АЧХ A()4=4k; ФЧХ
2/)(
(рис.4.6, б).
При подаче единичной ступенчатой функции на вход на
выходе получаем
)()( tkth
(рис.4.6, в).
В связи с тем, что производная при ступенчатых
возмущениях пропорциональна -функции, т.е. импульс имеет
бесконечно большую амплитуду, дифференцирующее звено в
идеале физически не реализуемо.
Реальное дифференцирующее звено имеет
передаточную;функцию
)1/()( TpkppW
и переходную
характеристику
Tt
Tkth
/
e)/()(
(рис.4.6, г).
4.7. Звено с запаздыванием
39
h(t)
t
в
Рис.4.6
+
+j
W
q
(j
)
+/2
а
/2
A()
()
б
–k/T
h(t)
t
г
A(),
()
Уравнение динамики
),()( txty
где – время
запаздывания.
Преобразуем это уравнение по Лапласу, сделав замену
переменной 4=4t;–; или t4=44+4:
)(eee)(e)()(
00
pXdtxdttxpY
ppppt
.
Передаточная функция
p
pX
pY
pW e
)(
)(
)(
.
Частотные характеристики: АФЧХ
j
jW e)(
(рис.4.7,
а); АЧХ A()4=41; ФЧХ ()4=4– (рис.4.7, б).
Переходная характеристика h(t)4=41(t;–;) (рис.4.7, в).
Заметим, что звено с запаздыванием является неминимально-
фазовым, так как усилительное звено с A()4 =41 дает сдвиг фаз,
равный нулю, а звено с запаздыванием имеет сдвиг фаз, отличный от
нуля и пропорциональный времени .
4.8. Полуинерционное звено
40
+1
–1
+j
–j
W(j
)
= 0
а
A()
()
1
б
x
t
1
в
t
y
1
г
Рис.4.7