Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Выражение (6.5) действительно при любых значениях p,
в;частности при p4=4j . Тогда (6.5) можно переписать так:
A(j)4=4a
0
(j;–;p
1
)(j;–;p
2
);…;(j;–;p
n
). (6.6)
Выражение (6.6) называется кривой Михайлова и обычно
обозначается D(j)4= =4A(j). Каждый сомножитель выражения
(6.6) отображается на комплексной плоскости вектором, конец
которого лежит на мнимой оси (рис.6.4).
В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента:
произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме
аргументов всех его сомножителей.
В нашем случае при изменении от – до + векторы
сомножителей (j;–;p
i
),
ni ,1
поворачиваются на угол . Если
корни лежат в левой части полуплоскости, то изменение угла будет
положительным, если в правой, – то отрицательным (вектор (j;–;p
i
)
поворачивается против часовой стрелки в левой полуплоскости и по
часовой стрелке – в правой).
Запишем выражение (6.6) в показательной форме. Учтем, что
i
j
ii
Apj
e
, где
ii
pjA
;
ii
pj arg
.
Тогда
n
j
n
i
j
i
jj
AAAAajAjD eeee)()(
2
2
1
10
71
–
–j
(j
– p
2
)
+j
–
–j
2
j
2
–
+
p
3
p
2
p
1
+
j
(j
– p
3
)
p
1
p
2
p
3
(j
– p
1
)
Рис.6.4
j
n
i
i
j
n
i
i
AAa ee
1
1
0
. (6.7)
Из (6.7) вытекает, что изменение аргумента вектора
Михайлова D(j) равно сумме изменений аргумента каждого
сомножителя выражения (6.7), т.е. изменение аргумента
n
i
i
jD
1
)(arg
.
Если все корни характеристического уравнения
расположены слева от мнимой оси (т.е. система устойчива), то
изменение каждого из сомножителей равно +, а изменение
аргумента произведения всех сомножителей argD(j)4=4+n.
Если хотя бы один корень будет расположен в правой
полуплоскости (система неустойчива), то изменение аргумента
вектора Михайлова argD(j)4=4+(n;–;2).
Заметим, что при изменении от – до + кривая
Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяет
ограничиться изучением кривой в диапазоне изменения от 0 до
+. Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можно
записать в виде
2
)(arg
0
njD
. (6.8)
Годограф кривой Михайлова при изменении от 0 до для
устойчивых систем при различных значениях n иллюстрирует рис.6.5.
В соответствии с (6.8) критерий Михайлова формулируется
следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была
устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении от;0
до; вектор Михайлова D(j) повернулся на угол
)2/( n
.
72
Рассматривая расположение D(j) на комплексной
плоскости, условие устойчивости можно сформулировать иначе:
чтобы;система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
годограф вектора D(j);прошел на комплексной плоскости
последовательно n4квадрантов в положительном направлении
(против часовой стрелки), не проходя через начало координат.
Если годограф проходит через начало координат, то система
находится на границе устойчивости.
73
n = 5
n = 3
= 0
a
n
+
+
+j
–j
n = 1
n = 2
n = 4
Рис.6.5
Расположение годографа
на комплексной плоскости для
различных систем иллюстрируется
рис.6.6.
Критерий устойчивости Найквиста. Заметим, что
частотная функция систем W(j) на комплексной плоскости может
быть представлена как вектор и при непрерывном изменении
конец вектора W(j) будет скользить по некоторой кривой,
представляющей графическое изображение АФЧХ системы
(годограф вектора).
Имеем Y(p)4=4W(p)X(p), где
)(
)(
)(1
)(
)(
p
p
pA
pB
pW
pW
pW
–
АФЧХ замкнутой системы;
)(
)(
)(
p
p
p
pA
pB
pW
– АФЧХ разомкнутой
системы.
Тогда [14+4W
p
(p)]Y(p)4=4W
p
(p)X(p), или A(p)Y(p)4=4B(p)X(p).
Характеристическое уравнение замкнутой системы: 14+
+4W
p
(p)4=40 или A
p
(p)4+4B
p
(p)4=40, где A
p
(p) – характеристический
полином разомкнутой системы.
В реальных системах степень полинома B
p
(p) меньше
степени полинома A
p
(p) вследствие инерционности динамических
звеньев. Следовательно, полином {A
p
(p)4+4B
p
(p)} имеет ту же
степень, что;и A
p
(p).
При p4 =4j, разложив соответствующие полиномы на
множители, имеем
74
n = 5, Н
n = 4, ГУ
n = 4, У
n = 4, Н
+j
+
a
n
Рис.6.6
Н, У, ГУ – система соответственно
неустойчива, устойчива, на границе
устойчивости
n
i
i
n
i
i
pj
pj
A
jA
jBjA
jW
1
2
1
1
p
pp
p
)(
)(
)(
)()(
)(1
,
где p
1i
и p
2i
– корни уравнений A
p
(j)4+4B
p
(j)4=40 и A
p
(j)4=40
соответственно; A – вещественный коэффициент.
В соответствии с первой теоремой Ляпунова, замкнутая
система устойчива, если все корни p
1;i
лежат в левой полуплоскости.
Если разомкнутая система устойчива, то корни уравнения
A
p
(j)4=40, p
2i
тоже лежат в левой полуплоскости. Поскольку при
делении комплексных чисел их аргументы вычитаются,
arg[14+4W
p
(j)]4=40.
75
Рис.6.7
б
k
=
= 0
W
p
(j
)
–1; j0
+j
1
=
1 + W
p
(j
)
k
= 0
W
p
(j
)
+j
а
Следовательно, чтобы замкнутая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора {14+ +4W
p
(j)}
не охватывал начало координат при изменении от – до4+.
При;4=40 и при ;; соответственно 14+4W
p
(j)4=4const
и;;14+4W
p
(j);;1. Годограф вектора {14+4W
p
(j)} представлен
на;рис.6.7,;а.
Если сместить ось ординат вправо на +1, то начало
координат в новой системе совпадет с началом вектора W
p
(j), а
старое начало координат в новой системе совпадет с точкой (–1;;j0)
(рис.6.7,;б).
Таким образом, критерий Найквиста можно сформулировать
следующим образом: чтобы замкнутая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не
охватывала точку с координатами (–1;;j0).
Заметим, что обратное утверждение является только
необходимым, но недостаточным условием неустойчивости
системы.
➢;;;Приме р13. 1.;Пусть разомкнутая система является
апериодическим звеном второго порядка. Тогда
)1)(1(
)(
21
1p
jTjT
k
jW
.
Если T
1
4=40, то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.6.8,;а, если
T
1
;;0, то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.6.8, б.
Поскольку АФЧХ разомкнутой системы при любых T
i
;>;0
(i4=41,;2) не пересекает отрицательную полуось абсцисс, система
всегда устойчива.
2.;Пусть
76
)1)(1)(1(
)(
321
2p
jTjTjT
k
jW
.
Тогда АФЧХ имеет вид, показанный на рис.6.8, в, и при
определенных параметрах, например при увеличении k, может
охватить точку(–1;;j0). При этом система потеряет устойчивость.
3.;Если последовательно с инерционными звеньями
включить интегрирующее звено с частотной характеристикой
)/()( jKjW
uu
, то умножение вектора АФЧХ,
представленного, например, частотной функцией предыдущего
примера, на вектор
)/()(
uu
kjjW
с аргументом, равным
2/
, означает поворот всех векторов W
p
(j) на угол –/2 с
одновременным делением на (рис.6.8,;г).
77
Рис.6.8
=
n = 1
+j
–j
= 0
k
–1; j0
k/2
а
W
p
(j
)
+j
= = 0
–1; j0
–j
n = 2
б
k
+j
=
= 0
W
p
(j
) k
n = 3
–j
–1; j0
в
W
p
(j
)W
u
(j
)
k
= 0
W
p
(j
)
+j
–j
–1; j0
г
W
p2
(j
)
W
p2
(j
)e
-j
+j
k
д
–1; j0
Таким образом, АФЧХ приближается к точке (–1;;j0) и,
следовательно, включение интегрирующего звена в разомкнутую
цепь системы уменьшает запас ее устойчивости и увеличивает
склонность системы к колебаниям.
4.;В случае последовательного включения с инерционными
звеньями звена с запаздыванием с АФЧХ W
(j)4=4e
–j
получим
W
p
(j)4=4W
p2
(j)e
–j
4=4
)(
2p
2p
e)(
j
A
,
АФЧХ которой представлена на рис.6.8,;д.
Как видно из рисунка, введение звена с запаздыванием так же,
как и в предыдущем случае, снижает запас устойчивости системы.
7. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
Анализ качества процесса не менее важен, чем анализ
устойчивости системы, так как качество процесса управления
определяет поведение АСУ при переходе из одного состояния
(начального) в;другое (конечное), и в конечном итоге
характеризуется размером ошибки, равной разности между текущим
и заданным значениями управляемой величины.
Изменение состояния АСУ возникает в результате внешних
воздействий, которые в общем случае являются произвольной
функцией времени и могут быть приложены со стороны нагрузки,
что характерно для систем стабилизации, или со стороны
управляющего сигнала (следящие системы). В первом случае
система должна минимально реагировать на воздействие по
нагрузке – инвариантная задача. Во втором, для следящей системы,
управление должно воспроизводиться с минимальной ошибкой –
ковариантная задача.
Методы анализа качества процесса управления делятся на
две группы: прямые, при которых качество процесса оценивается
непосредственно по кривой переходного процесса, и косвенные,
оцениваемые по критериям качества.
78
7.1. Прямые методы
Кривая переходного процесса строится на основании
решения уравнения движения системы или по данным
эксперимента.
Переходный процесс устойчивой системы всегда затухает
и,;в зависимости от характера затухания, подразделяется на
монотонный (апериодический) и колебательный (рис.7.1). При этом
имеется в виду, что на вход системы (со стороны задающего
воздействия) подано ступенчатое возмущение y*(t)4=41(t),
соответствующее изменению задания.
Обычно качество переходного процесса оценивается по
нескольким показателям (рис.7.2).
Время регулирования t
p
– время, по истечении которого
отклонение управляемой величины y(t) от установившегося
значения y() становится и остается меньше 4=4(0,01;;0,05)y().
Этот показатель характеризует скорость протекания;переходного
процесса. Если кривая переходного процесса монотонна, то этот
показатель является единственным.
79
1 3
2
y(0)
t
p
t
y
y
Рис.7.1
– зона нечувствительности; кривые
1 – колебательный процесс (0;<;;<;1);
2 – монотонный процесс (;>;1; t
p
– время
регулирования); 3 – полуколебательный
процесс (;=;1)
Время первого
согласования t
c
– время,
по истечении которого
управляемая величина
первый раз достигает
своего установившегося
значения. Этот
показатель также
характеризует скорость
протекания процесса в
начальный период.
Перерегулирование – отношение максимального
отклонения управляемой величины к своему установившемуся
значению в процентах
100)/(
max
yy
.
Число перерегулирований n в течение времени t
p
и частота
колебаний
к
4=42/T
к
.
Для процессов обоих типов (кривые 1 и 2 рис.7.1)
существует оценка точности работы АСУ в установившемся
режиме. Пусть при номинальном режиме y(0)4=4y
*
4=40, т.е.
рассматриваем уравнение движения системы в отклонениях от y
*
.
Тогда статическая ошибка ()4=4y();–;y(0);=;y(). Значение y()
можно найти, воспользовавшись теоремой о конечном значении. В
соответствии с теоремой дифференцирования имеем
L{y'(t)}4=4pY(p);–;y(0) или
0
e)()0()( dttyyppY
pt
. (7.1)
Взяв предел от (7.1), при p0 получим
)()0()()0(e)()0()(
0
00
limlim
yyyydttyyppY
pt
pp
.
Таким образом,
80
t
c
2
y
max
t
p
t
T
к
y(0)
y
y
Рис.7.2