Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

Некоторые объекты управления характеризуются

показателями, которые являются функциями не только времени, но и

преобразованных координат, и описываются уравнениями в частных

производных. Такие объекты встречаются в различных тепловых,

диффузионных и электромагнитных устройствах. В этом случае

зависимость переменных может носить степенной характер и в

дифференциальном уравнении может появиться слагаемое,

содержащее переменную (временную или пространственную) в

дробной степени. Например, если f(t)4=4t



, где 1;>;;>;–1, но ;;0,

то изображение этой функции









e}{ dtttL

. (4.1)

Произведем замену переменных pt4=4, тогда

pddt /

pt /

, и выражение (4.1) примет вид























tL e

e}{

. (4.2)

Интеграл в выражении (4.2) является функцией . В

частности, можно показать, что при 4=4–1/2 он равен



, при

4=41/2 равен

2/

, а при 4=41 равен 1. Тогда, воспользовавшись

(4.2), получим













}{

;

}{











Таким образом, ДУ, содержащее слагаемое в дробной

степени, после преобразования по Лапласу может содержать

Тогда передаточная функция

)(

pW 

. (4.3)

В частности, W(p);=

)1/( pTk

– полуинерционное;звено.

Передаточная функция вида (4.3) называется

иррациональной передаточной функцией. Изображение выходной

величины Y(p)4=4W(p)X(p). При;Х(р);=;1/р получим Н(р)

)/1)](1/([ ppTk 

. Произведя замену переменных

sp 

найдем псевдоизображение H(s);=;k/[(Ts;+;1)s

], которое дает

возможность найти оригинал;h(t).

На рис.4.8 для сравнения приведены переходные функции

инерционного (кривая 1) и полуинерционного (кривая 2) звеньев.

5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ АСУ

Часто АСУ можно рассматривать как комбинацию

динамических звеньев с определенными передаточными функциями.

Графическое изображение АСУ в виде совокупности динамических

звеньев с указанием их передаточных функций и связей между

звеньями называется структурной схемой. По существу эта схема

представляет собой графическое изображение системы уравнений,

записанных в виде передаточных функций, и может рассматриваться

как схема прохождения и преобразования сигналов в АСУ. В этой

связи она часто называется алгоритмической.

5.1. Обозначения в структурных схемах линейных

систем

В структурных схемах используют следующие обозначения:

1.;Линия передачи сигнала (рис.5.1).

h(t)

Рис.4.8

2.;Динамическое звено с одним входом и выходом

направленного действия (рис.5.2).

3.;Динамическое звено с двумя входами (рис.5.3).

4.;Узел или разветвление. В месте разветвления сигнал не

делится (рис.5.4).

5.;Сумматор y4=4x

4+4x

(рис.5.5).

6.;Устройство сравнения y4=4x

-x

(рис.5.6).

Рассмотрим основные виды соединения звеньев

1.;Последовательное соединение (рис.5.7).

Имеем X

(p);=4W

(p)X(p); Y(p);=4W

(p)X

(p);=4W

(p)W

(p)X(p);=

=4W

экв

(p)X(p), где W

экв

(p)4=4W

(p)W

(p).

В общем случае





pWpW

)()(

экв

, где W

экв

(p) –

эквивалентная передаточная функция; N – число последовательно

включенных звеньев.

Таким образом, передаточная функция последовательно

включенных звеньев равна произведению передаточных функций

каждого звена.

2.;Параллельное соединение (рис.5.8).

Имеем

Y(p)4=4Y

(p)4+4Y

(p)4=4W

(p)X(p)4+4W

(p)X(p)4=4[W

(p)4+

+4W

(p)]X(p)4=4W

экв

(p)X(p).

Рис.5.1

W(p)

Рис.5.2

В общем случае





pWpW

)()(

экв

, т.е. передаточная

функция параллельно соединенных звеньев равна сумме их

передаточных функций.

➢;;;Приме р6. Запишем эквивалентную передаточную функцию

системы, структурная схема которой приведена на рис.5.9.

Воспользовавшись приведенными выше правилами

объединения передаточных функций последовательно и

параллельно соединенных звеньев, запишем

(p)

x W

(p)

Рис.5.7

(p)

y;=;y

;+;y

Рис.5.8

W(p)

Рис.5.3

Рис.5.4

Рис.5.6

Рис.5.5

(p)

(p)W

(p)

Рис.5.9

экв

(p)4=4W

(p)W

(p)[W

(p)4+4W

(p)]W

(p).

*;*;*

3.;Параллельно-встречное включение звеньев (обратная

связь) (рис.5.10). Здесь 4=4x;–;y

– отклонение текущего значения

управляемой величины от

заданного.

Найдем передаточную функцию по каналу xy: W

(p).

Имеем

(p)4=4X(p);–;Y

(p)4=4X(p);–;W

ОС

(p)Y(p). (5.1)

С другой стороны,

)(

p 

. (5.2)

Приравняв левые и правые части уравнений (5.1) и (5.2),

окончательно получим

)(

)()(1

)(

экв

ОС

pWpW







5.2. Передаточная функция замкнутой АСУ

Пусть структурная схема системы имеет вид, показанный на

рис.5.11. Воспользовавшись приведенными ранее правилами, для

данной структурной схемы можно записать:

1.;Передаточную функцию разомкнутой системы

(p);=;W

(p)W

(p).

2.;Передаточную функцию по управлению

(p)

ОС

(p)

ОС



Рис.5.10

)(1

)(

)()(1

)()(

)(

pWpW









3.;Передаточную функцию по возмущению

)(1

)()(

)()(1

)()(

)(

pWpW









4. Передаточную функцию по ошибке

)(1

)()(

)(;

)(1

)(

pWpW











Таким образом, в общем случае передаточная функция

замкнутой системы относительно любых входных и выходных

координат равна дроби, у которой числитель – передаточная

функция звеньев, включенных между точкой приложения входного

воздействия и точкой измерения выхода, а знаменатель равен

14+4W

(p).

Заметим, что в случае положительной обратной связи

знаменатель имеет вид 1;–;W

(p) и входной сигнал усиливается.

5.3. Правила структурных преобразований

Если структурная схема оказывается сложной и содержит

много перекрестных связей, можно попытаться упростить ее с

помощью определенных правил. Основной принцип преобразования

структурных схем заключается в том, что выходные величины

исходной (части а рис.5.12-5.19) и эквивалентной (части б рис.5.12-

(p)



(p)

Рис.5.11

5.19) схем должны быть равны. К наиболее распространенным

правилам преобразования относятся следующие:

1.;Перестановка сумматоров (рис.5.12).

2.;Перестановка звеньев (рис.5.13).

3.;Перестановка узлов (рис.5.14).

а б

экв

= y

исх

= x

Рис.5.14

исх

= x

– x

+ x

экв

= y

исх

Рис.5.12

исх

(p);=;W

(p)W

(p)Х

(p)

исх

(p)

экв

(p) = Y

исх

(p)

а б

Рис.5.13

(p)

1 исх

(p) = Y

2 исх

(p) = W

(p)X

(p)

1 исх

исх

(p)

экв

= y

1 исх

экв

= y

2 исх

Рис.5.15

(p)

исх

(p) = W

(p)X

(p) + X

(p)

исх

(p)

экв

= y

исх

(p)

Рис.5.16

Рис.5.17

(p)

1 исх

(p) = W

(p)X

(p)

1 исх

исх

= x

экв

= y

1 исх

(p)

1 экв

= y

1 исх

(p)

исх

(p) = W

(p)[X

(p) + X

(p)]

(p)

экв

= y

исх

Рис.5.18

)(

)()(1

)(

исх

pWpW





(p)

исх

ОС

)(

)()(1

)()()(

)(

221

экв

pWpW

pWpWpW







экв

= y

исх

–1

(p)

ба

Рис.5.19

4.;Перенос узлов и сумматоров с выхода на вход (рис.5.15, 5.16).

5.;Перенос узлов и сумматоров с входа на выход (рис.5.17, 5.18).

6.;Переход к единичной обратной связи (рис.5.19).

;;;Приме р7. Пусть задана структурная схема, показанная на

рис.5.20. Найдем W

(p).

Применив правило перестановки сумматоров 1 и 2 и

переноса узла D с выхода на вход пятого звена W

(p), а затем

перестановки его с узлом C, получим структурную схему без

перекрестных связей (рис.5.21). Для преобразованной схемы можно

записать:

)()()(;

)()(1

)(

4334

pWpWpW

pWpW

pW 





;

)()()(1

)(

6534

3456

pWpWpW





;

)(

)()()(1

)()(

)(

7345612

345612

pWpWpW

pWpW





5.4. Использование графов

для преобразования структурных схем

Для наглядного изображения прохождения и преобразования

сигнала в АСУ помимо структурных схем используют графы,

которые, как и структурные схемы, представляют собой запись

системы уравнений АСУ в виде рисунка.

Граф состоит из точек (узлов) и линий (ветвей),

соединяющих эти точки. Узлам и ветвям могут быть сопоставлены

некоторые величины и операторы. Если ветви графа имеют стрелки,

соответствующие направлению распространения сигнала, то граф

называется направленным. Рассмотрим его свойства.

1.;Каждому узлу (вершине), отмеченному на графе точкой

или кружочком, соответствует некоторая переменная

рассматриваемой системы.

(p)

B C

Рис.5.20

(p)

1 3

B CD y

(p)

Рис.5.21

= k

;=;k

Рис.5.22

y = k

+ k

Рис.5.23

2.;Каждая ветвь (ребро) графа, изображенная в виде линии со

стрелкой, имеет узел-начало x – входная величина и узел-конец y –

выходная величина (рис.5.22, а). Выходная переменная ветви

получается как результат преобразования входной величины,

осуществляемый оператором передачи ветви: y4=4kx, где k –

оператор (передача) графа.

3.;Если из узла выходят несколько ветвей, то все они имеют

одинаковую входную величину (рис.5.22, б).

4.;Если к одному узлу подходит несколько ветвей, то

переменная, соответствующая этому узлу, получается

алгебраическим суммированием выходных переменных ветвей

(рис.5.23).

Между структурной схемой и графом прохождения сигнала

имеется прямое соответствие. Прямоугольник структурной схемы

соответствует ветви, а линия передачи сигнала соответствует узлу.

➢;;;Приме р8. Пусть имеем две параллельно соединенные ветви.

(рис.5.24, а) Тогда получим y4=4(k

4+4k

)x4=4k

экв

В общем случае

совокупность параллельных

одинаково направленных ветвей

может быть заменена одной

ветвью, передача которой равна

сумме передач параллельных

ветвей (см. рис.5.22,;а).

Пусть имеем две последовательно соединенные ветви

(рис.5.24,;б). Тогда y4=4k

x4=4k

экв

x y

Рис.5.24

1/k



Рис.5.25