Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
ксд
ААA
, (2.1)
т.е. работа движущих сил
д
А
расходуется на преодоление сил
сопротивления
с
А
и изменение кинетической энергии
к
А
,
вызванное изменением скорости движения.
Продифференцировав уравнение (2.1) по времени, получим
уравнение баланса мощностей
динсд
PPP
,
где
с
P
– мощность, расходуемая на преодоление сил
сопротивления,
dtdAP /
cс
;
дин
P
– динамическая мощность,
характеризующая изменение запаса кинетической энергии системы,
dtAdP /
кдин
.
Для системы вращающихся тел имеем
,
2
2
к
JA
где – частота вращения двигателя;
2
1
2
mrmJ
k
i
ii
– момент
инерции; m
i
– масса i-й частицы тела, удаленной от оси вращения на
расстояние r
i
,
k
i
i
mm
1
; – приведенный радиус инерции,
./
11
22
k
i
i
k
i
ii
mrm
Если момент инерции зависит от угла поворота , т.е.
J4=4f(), который, в свою очередь, зависит от времени (t), то
.
22
)(
22
дин
dt
d
d
dJ
dt
d
JJ
dt
d
P
Разделив полученное уравнение на и учтя, что
MP
, получим
d
dJ
dt
d
JM
2
2
дин
.
11
Если J4=4const, то
dtJdM /
дин
. Тогда с учетом
уравнения (2.1) уравнение движения системы двигатель – рабочая
машина можно записать так:
сд
MM
dt
d
J
. (2.2)
Вторым шагом должно быть определение факторов, от
которых зависят переменные, входящие в уравнение (2.2), и
формализация этих зависимостей.
Движущий момент
д
M
в нашем примере зависит от
поступления энергии в машину, т.е. от положения регулирующего
органа x и частоты вращения . Момент сопротивления
с
M
может
состоять из ряда слагаемых: часть их может быть постоянна (сила
трения), другие – зависеть от («вентиляторная нагрузка»), третьи –
от пути, времени и т.д.
Предположим, что
д
M
зависит от положения
регулирующего органа и частоты вращения, т.е.
),(
д
xM
, а
момент сопротивления
с
M
– только от частоты вращения, т.е.
)(
с
M
и J4=4const. Вид этих зависимостей определяет тип
уравнения (2.2), которое может быть линейным или нелинейным.
Если нелинейность гладкая, без скачков, и отклонение от
номинального режима работы не очень существенно, то нелинейное
уравнение можно с определенной погрешностью заменить на
линейное. При этом существенно упрощается анализ динамических
свойств объекта управления.
*;*;*
Замена нелинейного уравнения линейным называется
линеаризацией. При этом все нелинейные функции переменных,
входящих в уравнение движения, разлагают в ряд Тейлора в
окрестностях рабочей точки (установившегося значения
переменных). На том основании, что отклонения малы, в
разложении оставляют лишь члены, содержащие отклонения в
первых степенях, после чего из полученных уравнений вычитают
12
уравнения равновесия (статики) и получают запись
линеаризованных уравнений в отклонениях.
Нелинейная функция двух переменных F(x,;y) разлагается
в;окрестностях рабочей точки (x
0
,;y
0
) в ряд Тейлора по формуле
y
y
F
x
x
F
yxFyyxxFyxF
0
0
0000
),(),(),(
1
00
).,(
!
1
n
n
yxFy
y
x
xn
Линейная часть приведенного разложения определяется
лишь первыми тремя членами, остальными слагаемыми можно
пренебречь в силу малости x, y. Таким образом, поверхность
F(x,y) заменяется плоскостью:
),( yxFCyBxA
.
В рассматриваемом примере линеаризация функции
),(
д
xM
,
с
M
в окрестностях состояния равновесия x4=4x
0
,
4=4
0
дает следующие результаты:
.)()(
;),(),(
0
c
0cc
0
д
0
д
00дд
M
MM
M
x
x
M
xMxM
(2.3)
Подставив соотношения (2.3) в уравнение (2.2) и вычтя
из;;;;полученного выражения уравнение равновесия
0)(),(
0с00д
MxM
, получим
x
x
MM
M
dt
d
J
0
дд
c
. (2.4)
Разделив (2.4) на коэффициент при и опустив знак ,
найдем
,kxT
(2.5)
где
1
0
д
c
M
M
JT
;
1
0
д
c
0
д
M
M
x
M
k
.
13
Таким образом, уравнение машины-двигателя, описывающее
поведение этой системы в переходных режимах, представляет собой
линейное ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами: Т –
постоянная времени и k – коэффициент усиления (передачи).
Заметим, что в данном случае мы учитывали только одну
энергетическую емкость, представляющую собой вращающиеся
части машины-двигателя, в которых запасается кинетическая
энергия. Если таких емкостей в системах будет n, то она будет
описываться ДУ n-го порядка.
Системы, поведение которых описывается линейными (или
линеаризованными) ДУ, относятся к классу линейных.
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Классический метод
Классическим оператором преобразования, связывающим
входной и выходной сигналы линейной системы, является линейное
ДУ с постоянными коэффициентами (рис.3.1).
Переменная, стоящая в правой части уравнения, является
входным воздействием, а в левой – выходной величиной.
В общем случае линейное неоднородное ДУ записывается в
виде
xbxbxbxbyayayaya
mm
mm
nn
nn
1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
0
. (3.1)
Из теории ДУ известно, что интегрирование уравнения (3.1),
т.е. определение y(t) при заданном x(t),
сводится к нахождению общего
интеграла однородного ДУ
(без;правой части) и частного решения
неоднородного ДУ (с правой частью).
Тогда общее решение
неоднородного;ДУ
14
А
x
y
Рис.3.1
; А – оператор
преобразования
)()()(
21
tytyty
,
где
)(
1
ty
– общее решение однородного ДУ, характеризует
свободное движение системы (без внешних воздействий);
)(
2
ty
–
частное решение неоднородного ДУ, характеризует вынужденное
движение системы.
Общее решение однородного ДУ обычно отыскивается в
виде экспоненты
pt
Cty e)(
1
. (3.2)
Взяв от (3.2) производные и подставив в (3.1), получим
0ee
0
pt
n
ptn
CaCpa
,
или, сократив на e
–pt
, имеем
0
1
1
10
nn
nn
apapapa
. (3.3)
Уравнение (3.3) является характеристическим уравнением
ДУ (3.1), имеющим n корней и, следовательно, n независимых
решений. Известно, что если имеется n независимых решений
уравнения, то их сумма также является решением этого уравнения,
т.е.
n
i
t
i
p
i
Cty
1
1
e)(
,
где p
i
– корни характеристического уравнения; C
i
– постоянные
интегрирования, определяемые из начальных условий.
Частное решение неоднородного ДУ обычно отыскивается
в;том же виде, в каком дана правая часть, т.е. зависит от вида
функции x(t) на входе.
В реальных системах входной сигнал чаще всего бывает
случайной функцией времени. Поэтому, чтобы сопоставить
переходные процессы в различных системах, рассматривают
динамику систем при так называемых типовых входных
воздействиях, в качестве которых чаще всего применяются
единичные ступенчатая и импульсная функции.
15
Единичная ступенчатая функция (рис.3.2,;а) описывает
мгновенное изменение входного сигнала и обозначается
)(1)( ttx
,
.01
;00
)(1
t
t
t
Единичная импульсная функция (рис.3.2,;б) описывается
выражением
;00
;0
)(
t
t
t
1)(
dtt
.
Очевидно, что функции 1(t) и (t) связаны между собой
соотношением
)(1)( tt
. При подаче на вход системы типового
входного воздействия вида
)(1 t
или
)(t
выходная величина
системы будет изменяться во времени тем или иным образом. Это
изменение и;является реакцией системы на определенное
воздействие.
Если
)(1)( ttx
и начальные условия нулевые, то реакция
системы называется переходной функцией или переходной
характеристикой
)(th
.
Если
)()( ttx
и начальные условия нулевые, то реакция
системы называется импульсной переходной характеристикой или
функцией веса
)(tw
.
Функции
)(th
и
)(tw
называются временными
характеристиками системы или кривыми разгона, и для линейных
звеньев связаны соотношением
)()( thtw
.
16
1
1(t)
а
(t)
t
б
Рис.3.2
;➢;;Приме р2 . Пусть система управления описывается ДУ
первого порядка
kxyyT
,
Найти временные характеристики системы.
Характеристическое уравнение
01Tp
имеет корень
Tp /1
1
. Общее решение однородного ДУ имеет вид
Tt
Cty
/
11
e)(
. Предположим, что
)(1)( ttx
, тогда частное
решение ДУ
const)(
22
Cty
. Подставив его в ДУ,
получим;C
2
4=4k. Тогда общее решение неоднородного ДУ
kCty
Tt
/
1
e)(
.
Из начальных условий y(0)4=40 находим
постоянную;интегрирования C
1
: 04= =4C
1
4+4k, откуда C
1
4=4–k.
Тогда;
)e1()()(
/ Tt
kthty
и
Tt
T
k
thtw
/
e)()(
(рис.3.3).
➢;;;Приме р3 . Если на вход системы (пример;2) подается
линейно изменяющийся сигнал (рис.3.4, а), имеем
ktyyT
,
при этом
Tt
Cty
/
11
e)(
;
322
)( CtCty
.
Подставив y
2
(t) в ДУ, получим C
2
T4+4C
2
t4+4C
3
4=4kt, откуда,
приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной t,
17
k
h(t)
y
t
Tk /
w(t)
Рис.3.3
t
x
а
kT
tg = k
T
y
t
б
Рис.3.4
имеем C
2
4=4k, C
2
T4+4C
3
4=40, и, следовательно, C
3
4=4–kT. Тогда
общее решение неоднородного ДУ (рис.3.4, б)
kTktCty
Tt
/
1
e)(
.
При начальных условиях y(0)4=40 найдем C
1
4=4Tk. Окончательно
получим
)e1()(
/Tt
Ttkty
.
3.2. Решение ДУ с помощью преобразования
Лапласа
Применение преобразования Лапласа позволяет перейти от
решения системы ДУ к решению системы алгебраических
уравнений. Кроме того, исключается необходимость определения
постоянных интегрирования, т.к. их учитывают при применении
преобразования Лапласа, а общее решение неоднородного ДУ при
любой правой части определяется сразу, т.е. исключается
раздельное нахождение y
1
(t) и y
2
(t).
Пусть f(t) – действительная функция действительного
переменного t, удовлетворяющая условиям Дирихле (непрерывна и
18
дифференцируема на рассматриваемом интервале) и равная нулю
при t;<;0. Будем называть эту функцию оригиналом. Каждому
оригиналу f(t) всегда можно поставить в соответствие функцию F(p)
комплексного переменного
jp
, определенную как интеграл
вида
0
e)()( dttfpF
pt
(3.4)
или
)()( tfLpF
,
где L – преобразование Лапласа.
Правая часть (3.4) называется прямым преобразованием
Лапласа функции f(t), а функция F(p) – изображением Лапласа.
В таблице представлены Лапласовы изображения некоторых
функций.
Оригинал Изображение по Лапласу
f(t)4=4A
p
A
p
AdtAtfL
ptpt
0
0
e
1
e)(
f(t)4=41(t)
p
tL
1
)(1
f(t)4=4(t)
1)(e)()(
0
0
0
lim
dttdtttL
b
a
pt
b
a
Приведем основные свойства преобразования Лапласа.
1.;Свойство линейности. Изображение алгебраической
суммы нескольких функций равно сумме изображений этих функций:
n
i
ii
n
i
ii
tfLatfaL
11
)()(
. (3.5)
19
Справедливость выражения (3.5) вытекает из определения
(3.4), в соответствии с которым преобразование Лапласа
представляет собой линейную операцию.
2.;Дифференцирование оригиналов. Производной от
функции f(t) соответствует разность изображений этой функции
F(p), умноженной на p, и ее начального значения f(0):
)0()()( fppFtfL
. (3.6)
Действительно, умножив (3.4) на p, получим
ptpt
pt
dtpd
dttfdutfu
dttfpppF
e,e
)(),(
e)()(
0
)()0()(ee)(
0
0
tfLfdttftf
ptpt
.
Выполнив этот прием n раз, получим
n
k
kknnn
fppFptfL
1
)1()(
)0()()(
. (3.7)
Выражение (3.7) является математической записью теоремы
дифференцирования. При нулевых начальных условиях выражение
(3.7) принимает вид
)()(
)(
pFptfL
nn
.
3.;Изображение интеграла. Можно показать, что
p
pF
dttfL
t
)(
)(
0
.
Рассмотрим методику интегрирования линейных ДУ с
постоянными коэффициентами. В соответствии со свойствами 1 и 2,
ДУ в области вещественного переменного t преобразуются в
области комплексного переменного p в алгебраическое выражение.
При этом автоматически учитываются начальные условия и
определяются постоянные интегрирования. Имеем
20