Власов К.П., Анашкин А.С. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
*;*;*
В общем случае цепь из последовательно соединенных
ветвей, идущих в одном направлении, может быть заменена одной
ветвью, передача которой равна произведению передач
последовательно соединенных ветвей (см. рис.5.22,;а).
Заметим, что в случае ненаправленных звеньев можно
производить инверсию графа (рис.5.25).
5.5. Формула Мезона
Эта формула позволяет отыскать любую переменную
величину графа, если известны передачи всех ветвей. Пусть имеем
граф, показанный на рис.5.26. Введем некоторые определения.
Узлы подразделяются на:
а);обычные узлы, имеющие как отходящие, так и
подходящие ветви (x
2
);
б);источники, имеющие только отходящие ветви (x
1
);
в);стоки, имеющие только подходящие ветви (x
6
).
Любой узел можно превратить в сток с помощью ветви с
передачей 1
)(
*
44
xx
. Сигнал, который находится в источнике,
является независимой переменной (x
1
).
51
Путем между любыми двумя узлами графа называется
непересекающаяся последовательность ветвей между этими узлами
с одним и тем же направлением стрелки.
Например, между узлами x
1
и x
4
имеется три пути:
I II III
x
1
a x
4
x
1
bh x
4
x
1
cdh x
4
Передачей пути P
ij
– называется произведение передач
ветвей, входящих в путь между узлами i и j. В нашем примере
передача путей P
14
будет следующей: P
I
4=4a, P
II
4=4bh, P
III
4=4cdh.
Контуром называется замкнутая непересекающаяся
последовательность ветвей, ориентированная в одном и том же
направлении.
Передачей контура L
i
называется произведение передач
ветвей, образующих контур. Для нашего примера L
1
4=4m, L
2
4=4fd,
L
3
4=4dgr, L
4
4=4dhnr.
Передачей графа T
ij
– называется отношение выходной
величины x
j
к входной величине x
i
, причем x
i
есть источник, т.е.
величина независимая,
ijij
xxT /
.
52
a
d
f
P
I
x
3
P
III
g
x
1
x
2
x
6
x
5
c
e
k
n
r
m
1
L
1
L
4
L
2
L
3
P
II
х
4
Рис.5.26
b h
x
4
*
Для нашего случая при j;=;4, i;=;1 получим x
4
4=4T
14
x
1
.
Передача графа находится по формуле Мезона
*
21
*
2121
)1()1)(1(
)1()1)(1(
u
uvs
ss
ij
LLL
LLLPPP
P
T
,
(5.3)
здесь v – количество путей; u – количество контуров; –
определитель графа;
*
– знак звездочки обозначает, что учитываются
произведения только некасающихся (даже в точке) контуров, число
которых равно u; P
s
– передача s-го пути, число путей равно v;
s
–
алгебраическое дополнение s-го пути, представляющее собой
определитель графа , из которого исключены все контуры, которых
касается s-й путь; именно поэтому в числителе стоит знак
*
. Если s-й
путь касается всех контуров, то
s
4=41.
Для графа рис.5.26 определитель
4=4(1;–;L
1
) (1;–;L
2
) (1;–;L
3
) (1;–;L
4
)4=41;–;(L
1
4+4L
2
4+4L
3
4+4L
4
)4+
+4(L
1
L
2
4+4L
1
L
3
4+4L
1
L
4
4++4L
2
L
3
4+4L
2
L
4
4+4L
3
L
4
);–
–;(L
1
L
2
L
3
4+4L
1
L
2
L
4
4+4L
2
L
3
L
4
4+4L
1
L
3
L
4
)4+4L
1
L
2
L
3
L
4
.
Поскольку должны учитываться произведения только
несоприкасающихся контуров, имеем
*
4=4[1;–;(L
1
4+4L
2
4+4L
3
4+4L
4
)4+4L
1
L
2
] (не;касаются друг друга только
контуры 1 и 2).
Алгебраические дополнения, полученные из определителя
графа
*
:
I
4=41;–;(L
1
4+4L
2
4+4L
3
)4+4L
1
L
2
;
II
4=41;–;L
1
;
III
4=41;–;L
1
.
Тогда в соответствии с (5.3) передача графа
214321
1III1II21321I
14
)(1
)1()1(])(1[
LLLLLL
LPLPLLLLLP
T
.
53
При рассмотрении АСУ передачи ветвей, входящих в
передачи путей и передачи контуров, представляют собой
передаточную функцию.
➢;;;Приме р9. Пусть имеем структурную схему, показанную
на;рис.5.27,;а. Соответствующий граф имеет вид, показанный на
рис.5.27,;б. Здесь L
1
4=4–W
1
W
2
; P
1
4=41W
1
4=4W
1
;
1
4=41. Тогда
)()(1
)(
1
)(
21
1
1
11
pWpW
pW
L
P
pWT
xyxy
.
➢ При ме р10. Пусть структурная схема системы имеет вид,
показанный на рис.5.28,;а.
Требуется найти передаточную функцию по каналу xy.
Соответствующий граф показан на рис.5.28, б.
54
W
1
–W
2
x y
W
1
–W
2
x
y
L
1
1
Рис.5.27
а
б
Рис.5.28
–W
5
–W
4
W
1
W
2
W
3
y
x 1
2 3
4
а
–W
5
–W
4
W
1
W
2
W
3
yx
1
2
3
4
1
1
L
1
L
2
б
В соответствии с (5.3) L
1
4=4–W
1
W
2
W
5
; L
2
4=4–W
2
W
3
W
4
; P
1
4=
=4W
1
W
2
W
3
;
*
4=4(1;–;L
1
)(1;–;L
2
)4=41;–;(L
1
4+4L
2
)4=414 +4W
2
(W
1
W
5
4+
+4W
3
W
4
);
1
4=41. Тогда, воспользовавшись (5.3), получим
)(1
)(
43512
321
WWWWW
WWW
pW
xy
.
5.6. Многомерные системы управления
К многомерным относятся АСУ, имеющие несколько
управляемых величин y
j
(
mj ...,,2,1
). Это имеет место во
многих современных сложных системах.
Многомерная система
предполагает наличие многомерного
объекта управления (рис.5.29),
который характеризуется
существованием нескольких входов
(точек приложения управляющих
i
u
и возмущающих
f
воздействий) и нескольких выходов,
определяемых управляемыми величинами y
j
. Многомерный объект
описывается системой уравнений, которую удобно представлять в
матричной форме.
Введем: m-мерный вектор управляемых величин
m
yyyy ...
21
; (5.4)
k-мерный вектор управляющих величин
k
uuuu ...
21
; (5.5)
l-мерный вектор возмущений
l
ffff ...
21
, (5.6)
55
ОУ
f
y
j
u
i
Рис.5.29
где ;– операция транспонирования.
Если управляемые величины имеют разную физическую
природу, то они должны входить в вектор-столбец со своими
весовыми коэффициентами, уравнивающими их размерности.
Аналогичным образом формируются векторы управления и
возмущений.
Линеаризованные уравнения многомерного объекта могут
быть представлены в матричном виде:
)()()()()()( tfpstuprtypq
, (5.7)
где
)(...)(
.........
)(...)(
)(
1
111
pqpq
pqpq
pq
mmm
m
;
)(...)(
.........
)(...)(
)(
1
111
prpr
prpr
pr
mkm
k
;
)(...)(
.........
)(...)(
)(
1
111
psps
psps
ps
mlm
l
– операторные матрицы.
Если в выражениях (5.4)-(5.7) перейти к изображениям
Лапласа при нулевых начальных условиях, то (5.7) может быть
представлено в виде
)()()()()()( pFpSpUpRpYpQ
. (5.8)
Умножив левую и правую части уравнения (5.8) на обратную
матрицу
)(
1
pQ
, получим
)()()()()(
o
pFpWpUpWpY
f
, (5.9)
где
)();(
o
pWpW
f
– матрицы передаточных функций объекта
соответственно для управляющих и возмущающих воздействий.
Выражение (5.9) позволяет установить связь между
управляемыми величинами и возмущающими и управляющими
56
воздействиями объекта. Так, при m4=43; k4 =42 и l4=40 из (5.9) можно
получить:
).()()()()(
);()()()()(
);()()()()(
2321313
2221212
2121111
pUpWpUpWpY
pUpWpUpWpY
pUpWpUpWpY
oo
oo
oo
Если в матрице передаточных функций
)(
o
pW
или
)( pW
f
для каждого элемента матрицы (частной передаточной функции)
найти оригинал, то будет получена так называемая матрица Коши
(матрица весовых функций). Например, для управляющих
воздействий
)(...)(
.........
)(...)(
)(
1
111
o
twtw
twtw
tw
mkm
k
. (5.10)
Если в нулевой момент времени на все входы объекта
поступают управляющие воздействия
)(tu
i
, где
ki ...,,2,1
, то
изменение j-й управляемой величины может быть определено с
помощью интеграла Дюамеля на основании принципа
суперпозиции:
k
i
t
jiij
dtwuty
0
0
)()()(
.
На рис.5.30 изображена структурная схема замкнутой
многомерной системы управления. На схеме все указанные символы
соответствуют матрицам:
)(
*
ty
– задающих воздействий;
)(ty
–
управляемых (выходных) величин объекта;
)(t
– отклонений для
каждой управляемой величины;
)(tu
– управляющих воздействий;
)(tf
– возмущений;
)(
o
pW
– передаточных функций по
управлениям;
)( pW
f
– передаточных функций по возмущениям.
57
Кроме того, введена матрица управляющего устройства
nk
ji
kpW
)(
рег
, которая определяет используемые законы
управления и показывает связь между изображениями управляющих
воздействий и отклонений:
)(
...
)(
)(...)(
.........
)(...)(
)(
...
)(
)(
1
1
1111
p
p
pkpk
pkpk
pU
pU
pU
nknk
n
k
.
(5.11)
Матрица передаточных функций разомкнутой системы
имеет вид
)()()(
регo
pWpWpW
.
Характеристическая матрица системы имеет размерность
nn
:
nn
pji
dpWIpD
)(
)()(
,
где I – единичная матрица
nn
, т.е. матрица, у которой все
элементы главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.
Характеристическое уравнение системы получается
приравниванием к нулю определителя характеристической матрицы.
Отклонения
i
(
ni ...,,2,1
) представляют собой
некоторые абстрактные величины, знание которых полностью
определяет текущее состояние системы. Их называют фазовыми
координатами системы. Состояние системы может быть также
58
)(
o
pW
)( pW
f
)(
*
ty
)(t
)(tu
)(tf
)(ty
)(
рег
pW
Рис.5.30
отождествлено с положением изображающей точки в n-мерном
пространстве, которое называется пространством состояния, где n
соответствует числу управляемых величин.
5.7. Управляемость и наблюдаемость
Рассмотрим n-мерное пространство состояний
, в котором
каждому состоянию системы соответствует некоторое положение
изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат
i
(
ni ...,,2,1
).
Пусть в пространстве состояний
заданы два множества
1
G
и
2
G
. Рассматриваемая система будет управляемой,
если существует такое управление
k
uutu ...)(
1
,
определенное на конечном интервале времени
Tt 0
, которое
переводит изображающую точку в пространстве
из подобласти
1
G
в подобласть
2
G
.
Можно сузить определение управляемости и понимать под
ним возможность перевода изображающей точки из любой области
пространства состояний
в начало координат, т.е. в точку,
соответствующую нулевым отклонениям управляемых координат
i
y
от заданных значений
*
i
y
. Система будет полностью
управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.
Если невозможно подобрать управления, приводящие систему в
начало координат ни из одного возможного состояния, система
неуправляема.
Система считается наблюдаемой, если в формировании
вектора выходных координат
y
участвуют все составляющие
вектора фазовых координат
. Если ни одна из составляющих
вектора
не влияет на формирование выхода системы
y
, то
такая система ненаблюдаема.
Исходные дифференциальные уравнения многомерной
системы управления могут быть представлены в форме Коши в
матричной записи:
59
,
;
;
Du
Cy
fEuBA
dt
d
(5.12)
где
– вектор фазовых координат размерности 1n (n
соответствует порядку дифференциального уравнения);
y
– вектор
управляемых (выходных) величин системы размерности 1m ;
u
–
вектор управляющих величин размерности 1k;
f
– вектор
возмущающих;и задающих воздействий размерности 1l;
nn
ji
aA
;
km
ji
bB
;
nm
ji
cC
;
nk
ji
dD
;
lm
ji
eE
– соответствующие матрицы коэффициентов.
От пространства состояний
перейдем к
преобразованному пространству состояний
~
посредством
преобразования
R
~
, где
R
– матрица коэффициентов
размерности
mm
.
Тогда вместо (5.12) будем иметь
.
~~
;
~
~
;
~~~
~
~
Du
Cy
fEuBA
dt
d
(5.13)
Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:
1
~
RARA
;
RBB
~
;
1
~
CRC
;
1
~
DRD
;
REE
~
.
Введение новых фазовых координат посредством
преобразования
R
~
приводит к эквивалентным системам
различной структуры. При некотором преобразовании может
оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые
дифференциальные уравнения (5.13) или часть фазовых координат
не участвует в формировании выхода
y
. В первом случае система
будет не полностью управляемой, во второй – не полностью
наблюдаемой.
Р.Калманом были доказаны критерии управляемости и
наблюдаемости системы.
60