Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку значения

не ограничены, мы не можем найти значения

функции на концах отрезка. Докажем, что при

3a

функция достигает

минимума.

 

   

 

2 2

1 4 1 3

' ;

1 1

a a a

S a

a a

   

 

 

При

0a

 

1 0 , 1 0a и a   

для любых а. Следовательно, знак

 

aS'

зависит от знака

 

3a

При

3a

 

0' aS

, при

3a

 

0' aS

, т.е. при переходе через

точку

3a

 

aS'

меняет знак с минуса на плюс, а это означает, что в

точке

3a

функция

 

достигает минимума. Это единственная точка

экстремума на

(1; )

, значит в ней и достигается наименьшее значение.

4 4 3

1 3 1

при а





  

 

Ответ: уравнение прямой



Задачи для контрольных работ

В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1)длину стороны АВ; 2)уравнение сторон АВ и ВС и их угловые

коэффициенты; 3)угол В в радианах с точностью до2-х знаков; 4)уравнение

высоты СD и ее длину; 5)уравнение медианы АЕ и координаты точки К,

пересечение этой медианы с высотой СD; 6)уравнение прямой, проходящей

через точку К параллельно стороне АВ; 7)координаты точки М,

расположенной симметрично точки А относительно прямой СD.

1. A(-8; -3), B (4; -12), C(8; 10).

2. A(-5; 7), B (7; -2), C(11; 20).

3. A(-12; -1), B (0; -10), C(4; 12).

4. A(-10; 9), B (2; 0), C(6; 22).

5. A(0; 2), B (12; -7), C(16; 15).

6. A(-9; 6), B (3; -3), C(7; 19).

7. A(1; 0), B (13; -9), C(17; 13).

8. A(-4; 10), B (8; 1), C(12; 23).

9. A(2; 5), B (14; -4), C(18; 18).

10. A(-1; 4), B (11; -5), C(15; 17).

11. A(-2; 7), B (10; -2), C(8; 12).

12. A(-6; 8), B (6; -1), C(4; 13).

13. A(3; 6), B (15; -3), C(13 ;11).

14. A(-10; -5), B (2; -4), C(0; 10).

15. A(-4; 12), B (8; -3), C(6; 17).

16. A(-3; 10), B (9; 1), C(7; 15).

17. A(4; 1), B (16; -8), C(14; 6).

18. A(-7; 4), B (5; -5), C(3; 9).

19. A(0; 3), B (12; -6), C(10; 8).

20. A(-5; 9), B (7; 0), C(5; 14).

В задачах 21-25 составить уравнение геометрического места точек,

равноудаленных от данной точки А (х

,у

) и данной прямой у=b. Полученное

уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

21. A (2; 5), y = 1.

22. A (3; – 4), y = 2.

23. A (– 4; 3), y = –1.

24. A (– 2; – 3), y = – 1.

25. A (1; –1), y = 3.

В задачах 26-30 составить уравнение геометрического места точек,

отношение расстояний которых до данной точки А (х

,у

) и до данной

прямой х=а равно числу ﻉ . Полученное уравнение привести к простейшему

виду и затем построить кривую.

26. A (6; 0), x = 1,5, ﻉ =2 .

27. A (3; 0), x =

, ﻉ =1,5 .

28. A (10; 0) x = 2,5, ﻉ =2 .

29. A (2; 0), x = 4,5, ﻉ=

30. A (3; 0), x = 12, ﻉ =0,5 .

В задачах 31-35 даны координаты точек А (х

,у

), В (х

,у

), С (х

,у

) и

радиус окружности R, центр которой находиться в начале координат.

Требуется: 1)составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через

данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого

эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4)

построить эллипс и окружность.

31. A (4; – 2), B (2;

), R =

32. A (– 8; 4), B (

; – 2), R =

33. A (

; – 2), B (– 3;

), R = 3.

34. A (– 6;

), B (

; 6), R = 8.

35. A (

; – 4), B (6;

), R =

102

В задачах 36-40 даны координаты точек А (х

,у

), В (х

,у

). Требуется:

1)составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные

точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти

полуоси, фокусы и эксцентриситет, и уравнение асимптот этой гиперболы;

3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в

начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;

4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.

36. A (– 3; 4), B (– 5;

37. A (4; – 6), B (6;

38. A (– 4; – 3), B (8; 9).

39. A (8, 12), B (– 6;

152

40. A (8; 6), B (10;

103

В задачах 41 – 60 решить систему трех уравнений с тремя

неизвестными при помощи определителей и с помощью обратной матрицы.

41)

















.52

,423

,1532

zyx

42)

















.822

,332

,23

zyx

43)

















.453

,43

,232

zyx

44)

















.832

,33

,1234

zyx

45)

















.53

,622

,125

zyx

46)

















.432

,32

,1233

zyx

47)

















.1234

,82

,132

zyx

48)

















.243

,532

,42

zyx

49)

















.143

,22

,332

zyx

50)

3 2 1,

2 3 5,

2 3 4.

x y z

  





  





  



51)

3 1,

2 7,

2 3 5.

x y z

  





  





  



52)

3 2 4,

2 1,

2 3 2 0.

x y z

  





  





  



53)

2 3 2,

2 3 0,

2 6.

x y z

  





  





  



54)

3 2 2 3,

2 5,

5 3 4.

x y z

  





  





  



55)

5 1,

2 2 7,

4 5.

x y z

  





  





  



56)

2 3 3 0,

2 7,

2 3 3.

x y z

  





  





  



57)

3 2 3,

2 4,

2 2 4.

x y z

  





  





  



58)

2 1,

2 3 0,

2 7.

x y z

  





  





  



59)

2 3 3,

2 4,

3 2 6 0.

x y z

  





  





  



60)

2 4 0,

3 3 1,

2 5 3.

x y z

  





  





  



В задачах 61 – 80 даны координаты вершин пирамиды

ABCD

Требуется: 1) записать векторы

ACAB,

в системе орт и

найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами

;

3) найти проекцию вектора

на вектор

; 4) найти площадь грани

ABC

; 5) найти объем пирамиды

ABCD

61)

 

2; 3; 1A 

 

6; 1; 1B 

 

4; 8; 9C 

 

2; 1; 2D 

62)

 

5; 1; 4A  

 

9; 3; 6B 

 

7; 10; 14C 

 

5; 1; 3D 

63)

 

1; 4; 0A 

 

5; 0; 2B 

 

3; 7; 10C 

 

1; 2; 1D 

64)

 

3; 6; 2A  

 

1; 2; 0B 

 

1; 5; 8C  

 

3; 4; 3D  

65)

 

1; 1; 5A  

 

3; 5; 7B 

 

1; 12; 15C 

 

1; 3; 4D  

66)

 

4; 2; 1A  

 

0; 6; 3B 

 

2; 13; 11C  

 

4; 4; 0D 

67)

 

0; 4; 3A

 

4; 8; 1B

 

2; 15; 7C 

 

0; 6; 4D

68)

 

2; 0; 2A  

 

2; 4; 4B 

 

0; 11; 12C 

 

2; 2; 1D  

69)

 

3; 3; 3A 

 

7; 7; 5B 

 

5; 14; 13C 

 

3; 5; 2D 

70)

 

4; 2; 5A 

 

8; 2; 3B

 

6; 9; 5C 

 

4; 0; 6D

71)

 

5; 0; 1A 

 

4; 2; 3B  

 

6; 2; 11C

 

3; 4; 9D

72)

 

1; 4; 0A 

 

2; 6; 2B 

 

12; 2; 10C 

 

9; 0; 8D

73)

 

1; 2; 8A   

 

0; 4; 6B  

 

10; 0; 2C

 

7; 2; 0D

74)

 

0; 2; 10A 

 

1; 0; 8B 

 

11; 4; 0C

 

8; 6; 2D 

75)

 

3; 1; 2A 

 

4; 1; 0B 

 

14; 3; 8C

 

11; 5; 6D

76)

 

8; 3; 1A  

 

7; 1; 1B 

 

3; 5; 9C

 

0; 7; 7D

77)

 

2; 1; 4A  

 

3; 3; 2B  

 

13; 1; 6C

 

10; 3; 4D

78)

 

4; 5; 5A  

 

3; 3; 3B  

 

7; 7; 5C

 

4; 9; 3D

79)

 

2; 3; 2A  

 

1; 5; 4B  

 

9; 1; 12C 

 

6; 1; 10D

80)

 

3; 4; 3A  

 

2; 2; 1B  

 

8; 6; 7C

 

5; 8; 5D

В задачах 81 – 90 даны координаты точек

BA,

Требуется: 1) составить канонические уравнения прямой

;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно прямой

и найти точку пересечения этой

плоскости с прямой

; 3) найти расстояние от точки

до прямой

81)

 

3; 1; 5A 

 

7; 1; 1B

 

4; 2; 1C 

82)

 

1; 2; 3A 

 

3; 4; 1B 

 

0; 1; 1C 

83)

 

2; 3; 7A 

 

6; 1; 3B 

 

3; 4; 3C 

84)

 

0; 2; 6A 

 

4; 0; 2B

 

1; 3; 2C 

85)

 

3; 1; 2A 

 

1; 3; 2B 

 

2; 0; 2C  

86)

 

2; 3; 1A 

 

2; 5; 3B 

 

1; 2; 3C  

87)

 

4; 0; 8A 

 

0; 2; 4B

 

3; 1; 4C  

88)

 

1; 4; 0A

 

5; 6; 4B 

 

2; 3; 4C 

89)

 

4; 4; 9A 

 

8; 2; 5B 

 

5; 5; 5C 

90)

 

5; 5; 4A

 

9; 7; 0B

 

6; 4; 0C

В задачах 91 – 100 даны координаты точек

CBA ,,

.Найти:

1) уравнение плоскости

, проходящей через точки

BA,

;

2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку

перпендикулярно плоскости

; 3) точки пересечения полученной прямой с

плоскостью

и с координатными плоскостями

yOzxOzxOy ,,

; 4)

расстояние от точки

до плоскости

91)

 

3; 2; 4A   

 

4; 2; 7B  

 

5; 0; 3C

 

1; 3; 0M 

92)

 

2; 2; 1A 

 

3; 0; 5B  

 

0; 2; 1C  

 

3; 4; 2M 

93)

 

5; 4; 1A

 

1; 2; 2B   

 

3; 2; 2C 

 

5; 5; 4M 

94)

 

3; 6; 2A 

 

0; 2; 3B 

 

1; 2; 0C 

 

7; 6; 6M 

95)

 

1; 4; 1A 

 

4; 4; 0B

 

1; 2; 4C  

 

9; 7; 8M 

96)

 

4; 6; 1A 

 

7; 2; 4B

 

2; 0; 4C  

 

3; 1; 4M 

97)

 

0; 6; 5A 

 

8; 2; 5B

 

2; 6; 3C 

 

5; 0; 6M 

98)

 

2; 4; 6A  

 

0; 6; 1B 

 

4; 2; 1C

 

7; 1; 8M  

99)

 

4; 2; 5A   

 

1; 8; 5B 

 

0; 4; 4C 

 

9; 2; 10M  

100)

 

3; 4; 1A 

 

2; 4; 2B 

 

5; 6; 0C

 

11; 3; 12M  

В задачах 101-120 найти указанные пределы.

101) а)

;

253







б)

;

132









в)

;

xarctg

x



г)

1



















im

102) а).

;

25152









б)

;

125









в)

;

2arcsin2

4cos1







г)

2 x























103) а)

;

374









б)

;









в)

;

2arcsin

x



г)

32 



















im

104) а)

;

992







б)

;

453









в)

;

3sin

xtg

x



г)

3 x























105) а)

;







б)

;







в)

;

2sin

xtg

x



г)

12 



















im

106) а)

;

252









б)

;









в)

;

sin

xtgx







г).



















107) а)

;

123









б)

;

453









в)

;

3sin

xtg

x



г)

14 

















im

108) а)

;

383









б)

;

243

122









в)

;

6arcsin

x



г)

21 x























109) а)

;

145









б)

;

325









в)

;

3sin

6cos1







г)

23 x























110) а)

;









б)

;

152









в)

;53sin

xxctgim

x



г)

4 x























111) а)

;









б)

;

341









в)

;

4cos1

xtgx







г)

21 x





















112) а)

;









б)

;

332









в)

;

xarctg

x



г)

14 

















im

113) а)

;









б)

;









в)

;

xtg

x



г)

31 x





















114) а)

;

2510

107







б)

;

273









в)

xxctgim

x



г)

32 

















im

115) а)

 

;

103









б)

;









в)

;

4sin

tgx

x



г)

16 

















im

116) а)

;









б)

;

314









в)

;

cos1







г)

 

.34







xim

117) а)

;









б)

 

xxxim

349







в)

;

6cos1







г)

 

.25







xim

118) а)

;

6113

352









б)

;

312









в)

;

5sin

xtg

x



г)

 

.27







xim

119) а)

 

;

232









б)

 

;342

xxxim







в)

;

arctgx

x



г)

 

.32







xim