Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

3. Расстояние от точки

до прямой

можно найти двумя способами:

1. воспользоваться формулой

CBS

d 







;

2. найти точку пересечения прямой

с плоскостью,

перпендикулярной прямой

и проходящей через точку

, а затем

найти расстояние от точки

до найденной точки.

Первый способ.

По условию

 

1;2;1 ABS



 

   

.4;2;331;31;12;; 

CBCBCB

zzyyxxCB

 

     

2 2

1 2 1 6;

2 1 1 1 1 2

1 2 1

2 4 3 4 3 2

3 2 4

8 2 4 3 2 6 6 7 8 ;

i j k

S CB i j k

i j k i j k

    

 

      

 



         



 



 

   

   

149

;149644936876





CBS



Второй способ.

Решив систему























.082

zyx

найдем точку

пересечения прямой и плоскости. Для решения введем параметр

2;12;1

;













tztytxt

Подставим найденные выражения для x, y, z в уравнение плоскости.

0116082241  ttttt

. Подставляя это

t

в параметрические уравнения прямой

,1tx

2,12  tzty

получим координаты точки M пересечения прямой и плоскости:

11 17 11 11 8

1 ; 2 1 1

6 6 6 3 3

x y        

;

z

;













Тогда

   

149

894

361

529

222























































































CMd

Ответ:

24d

(лин. ед.).

Аналогично решаются примеры с номерами 81-90.

Пример: Даны координаты точек

     

3;1;4,7;3;4,4;2;3 CBA 

 

3;1;4 M

Найти:

1. уравнение плоскости

, проходящей через точки

BA,

;

2. канонические уравнения прямой, проходящей через точку

перпендикулярно плоскости

;

3. точки пересечения полученной прямой с плоскостью

и с

координатными плоскостями

YOZXOZXOY ,,

;

4. расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение.

1. Если плоскость проходит через три точки

 

1111

,, zyxM

 

2222

,, zyxM

 

3333

,, zyxM

, то уравнение плоскости имеет вид:

131313

121212

111





zzyyxx

По условию задачи нам надо найти плоскость, проходящую через точки

BA,

. Полагая

1 2 3

, ,M A M B M C  

, находим уравнение

искомой плоскости:

 

     

3 2 4 3 2 4

5 3

4 3 3 2 7 4 0 1 5 3 0 3

1 1

4 3 1 2 3 4 1 1 1

1 3 1 5

2 4 0 3 (5 3) ( 2)( 1 3)

1 1 1 1

( 4)( 1 5) 0 8( 3) 4( 2) 4( 4) 0

2( 3) 2 4 0 2 6 2 4 0

2 12 0.

x y z x y z

y z x y

z x y z

x y z x y z

x y z

     



          

 

    



            

 

            

              

    

Ответ:

.0122  zyx

2. Канонические уравнения прямой

000











, где

 

0000

,, zyxM

- точка прямой,

 

nmlS ;;



- направляющий вектор

прямой. Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости

, то

направляющий вектор искомой прямой параллелен нормали

 

CBAn ;;



плоскости

. Тогда направляющим вектором искомой прямой может

служить нормаль плоскости

 

1;1;2nS





Беря координаты точки

 

3;1;4 M

и направляющего вектора



, составляем канонические уравнения искомой прямой:

4 







 zyx

Ответ:

4 







 zyx

3. Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью решаем

систему, в которую входит уравнение прямой и уравнение плоскости.























.0122

zyx

Для решения вводим параметр

;













Отсюда

.3,1,42  tztytx

Подставим эти величины в уравнение плоскости:

01231)42(2  ttt

Упрощая, получим

0246 t

. Отсюда

4t

Подставив

в параметрические уравнения прямой, получим

координаты точки пересечения.

134,314,4442  zyx

Получаем:

)1;3;4(D

Точки пересечения с координатными плоскостями.

С плоскостью

XOY

 

.0;2;2;

213

,246

zyx







































































С плоскостью

XOZ

 

0, 0,

4 1 3 4 0 1 3

. .

2 1 1 2 1 1

2, 2; 0; 2 .

y y

x y z x z

x M







 

 





  

   

  

     

   

  

 

















    









С плоскостью

:YOZ

















































zyx

 

2, 1, 0; 1; 1 .

y M













 

     

 

 















Ответ:

;)1;3;4(D

 

;0;2;2

 

;2;0;2

M

 

1;1;0

M

4. Расстояние от точки

до плоскости

можно найти двумя

способами:

1) по формуле

222

000

CBA

DCzByAx







2) по формуле

MDd 

Первый способ.

Берём точку

 

3;1;4 M

, плоскость

0122  zyx

;

.64

112

12)3()1()4(2

222







d

Второй способ.

MDd 

;

     

.4;4;831;13;44;; 

MDMDMD

zzyyxxMD

.64161664448

222

MD

Ответ:

64d

(лин. ед.).

Аналогично решаются задачи с номерами 91-100.

IV. Кривые второго порядка

(задачи №№ 21 – 40)

Основные теоретические сведения

1. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма

расстояний которых до двух данных точек F

и F

, называемых фокусами,

есть величина постоянная (обозначаемая через 2а).

Пусть 2c – расстояние между фокусами, тогда каноническое уравнение

эллипса:



, где b

= a

-c

-b

По определению MF

+ MF

= 2a, a и b – полуоси эллипса и фокусы

симметричны относительно оси игреков: F

(-c;0), F

(c;0),

Если фокусы расположены в точках F

(0; -c) и F

(0; c), то уравнение

останется прежним, но a

= b

-c

(т.е. b > a).

-b

-a

Число





называется эксцентриситетом эллипса. Так как c < a, то



< 1.

Частный случай, если a = b = R, дает окружность x

. В этом случае

с = 0. Точка О (0; 0) – центр окружности, R – радиус.

Пример:

Даны координаты точек













;5A















;3B

и радиус

окружности

32R

, центр которой находится в начале координат.

Требуется:

1) Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные

точки А и В;

2) Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;

3) Найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;

4) Построить эллипс и окружность.

Решение.

1) Каноническое уравнение эллипса:



Требуется найти а

и b

. Так как точки A и B принадлежат эллипсу, их

координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Подставим координаты

точек в уравнение эллипса и получим систему уравнений относительно a

















)

(

)3(

(

)5(

Введем новые переменные:



Получим:













144

Решим систему по методу Крамера:

,36

180

324

144



180144

144







..,









 a

етx

495



..,









 b

етy

Уравнение эллипса:

925



;39

;525



- полуоси,

.416925

;

222







bac

Oxосинаырасположенфокусыba

Фокусы

).0;4(),0;4(

FF 

525



- полуоси,

,416925

;

222







bac

Oxосинаырасположенфокусыba

Фокусы

).0;4(),0;4(

FF 

Эксцентриситет





3) Для того, чтобы найти точки пересечения двух кривых, нужно решить

систему, составленную из уравнений, задающих эти кривые. В нашем случае

имеем:













.12

925









.12

,225259

Умножим второе уравнение на –9 и сложим c первым. Получим:

117

11716

 yyy

Подставим найденное значение y

во второе уравнение, получим

117

 xxx

Имеем четыре точки пересечения:

).13

(

);13

();13

(

321





MMM

2. Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек,

модуль разности расстояний которых до двух данных точек F

и F

называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначаемая через 2a).

Если фокусы расположены на оси Ох в точках

),0;(),0;(

cFcF 

то

каноническое уравнение гиперболы таково:



, где b

= c

– a

График, соответствующий этому уравнению, будет иметь вид: