Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Ответ:

arccos



ACAB

3) Проекцию вектора

на вектор

находим по формуле:

aрп











Итак:

358

6410

)3(2)1)(4()5()2(



















ABAD

ADпр

Ответ:

358 

ADпр

4) Площадь грани АВС находим по формуле:

baS





где

zyx

bbb

aaa

kji









Для нашего случая,

ACABS

ABC



где

,4222

204

315

kji

ACAB





































Отсюда:

146504164844)4(22)2(

222

ACAB

Тогда

.).(143146

едквS

ABC



Ответ:

.).(143 едквS

ABC



5) Объем пирамиды ABCD находим по формуле

 

cbaV

пир





где

 

zyx

ccc

bbb

aaa

cba 



;

Тогда

 

ADACABV

пир



 



















121

102

315

242

204

315

ADACAB













 )122(4

111

)1(14

121

100

3111

).(

.92234

едкубV 



Ответ:

).(

едкубV 

Решение номеров 61-80 аналогично приведенному решению.

III. Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат

XOY может быть задана уравнением одного из следующих видов

);(( BAn



нормаль к прямой,

);(

000

yxM

- точка, лежащая на

прямой,



(m; l) – направляющий вектор прямой, k – угловой

коэффициент прямой):

0 CByAx

- общее уравнение прямой;

0)()(

 yyBxxA

- уравнение прямой, проходящей через

точку, с заданной нормалью;







- уравнение прямой, проходящей через точку, с

заданным направляющим вектором (каноническое уравнение прямой);









ylty

xmtx

- параметрические уравнения прямой;

bkxy 

- уравнение прямой с угловым коэффициентом;

)(

xxkyy 

- уравнение прямой, проходящей через точку, с

заданным угловым коэффициентом;

1

- уравнение прямой «в отрезках» ( a и b - величины отрезков,

отсекаемые прямой на координатных осях).







- уравнение прямой, проходящей через две данные

точки

 

; yx

 

; yx

;

0sincos 



- нормальное уравнение прямой.

Если дано общее уравнение прямой и В отлично от нуля то ее угловой

коэффициент равен:

k 

Если

- угловые коэффициенты двух прямых, то угол



между ними находят по формуле

).1(,







 kk

Условия параллельности двух прямых:

kk 

;



Условия перпендикулярности двух прямых:

kk

2121

 BBAA

;

2121

 llmm

α – полярный угол нормали,

направлен от точки О к прямой;

ρ – длина отрезка

Если даны уравнение прямой

OCByAx 

и точка

 

; yx

вне

прямой, то расстояние от этой точки до данной прямой вычисляют по

формуле:

CByAx







Если заданы две точки

);(

yxA

);(

yxB

, то координаты

середины отрезка

вычисляют по формулам

;

2121









Пример:

Даны координаты вершин треугольника

ABC

. А(1;2), B(2;-2), C(6;1).

Найти:

1) длину стороны AB;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол B в радианах с точностью до 2-х знаков;

4) уравнение высоты CD и ее длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К её пересечения с высотой

CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ;

7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А

относительно прямой CD.

Решение:

Сделаем схематичный чертеж задачи:

1) Длину стороны АВ находим по формуле:

aaaAB 



координаты вектора

по формуле :

 

; ; ;

2 1; 2 2 (1; 4);

B A B A x y

AB x x y y a a

   

     

Итак:

( 1; 4)AB  

;

.17)4(1

AB

Ответ:

17AB

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки (

1 1

;x y

) и (

2 2

;x y

)

имеет вид:







;

Зная координаты точек А( 1; 2) и В( 2; -2), находим уравнение прямой

АВ:

.442



















yxyx

Общий уравнение прямой АВ:

.064  yx

Угловой коэффициент

этой прямой

,4

т.к.

k 

Зная координаты точек B( 2; -2) и С( 6; 1) находим уравнение прямой

ВС:







 yx

или

6384









. Общее уравнение

прямой BC:

01443  yx

, ее угловой коэффициент



Ответ: АВ:

064  yx

4

;

ВС:

01443  yx



3) Угол В находим по формуле

1 kk







Итак

375,2



















ABBC

BCAB

Отсюда

67 10'  

Ответ:

67 10'  

4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то их угловые

коэффициенты связаны соотношением

.1

CDAB

Отсюда

;



Зная точку

),(

и угловой коэффициент k, запишем уравнение

прямой CD в виде:

)(

xxkyy 

Получаем:

).(

cCDc

xxkyy 

)6(

1  xyxyxy

или

024  yx

Итак, уравнение СD:

024  yx

Учитывая формулу

CByAx







, найдем длину высоты CD как

расстояние от точки С(6;1) до прямой АВ с уравнением 4х+у-6=0:

2 2

4 6 1 6

19 19

4 1

  

  



Ответ: CD:

024  yx

CD

5) Для нахождения уравнения медианы АЕ, надо найти координаты точки

Е. Так как Е есть середина отрезка ВС, тогда координаты точки Е найдем по

формулам:

;









Получаем:

;











Е(

;4 

). Учитывая,

что медиана проходит через две точки А и Е с известными координатами, по

формуле







найдем уравнение медианы АЕ:

.01765126

;

























yxy

yxyx

АЕ:

01765  yx

Точку К найдем как точку пересечения двух прямых:























.24

,1765

.024

,01765

Для решения используем формулы Крамера:

.71710

175

,801268

617

,26620















1 2

80 40 7 7

;

26 13 26 26

K K

x y

   

     

   

Ответ: К













;

; АЕ:

01765  yx

6) Учитывая условия параллельности прямых запишем

LAB

KK 

, где L

- прямая проходящая через точку К параллельно стороне АВ. Итак,

;













 KKK

ABL

по формуле

)(

xxkyy 

найдем

уравнение L:

.032726104

320104726

160



















xyxyxy

Ответ:

032726104  yx

7) Для нахождения координат точки М , расположенной симметрично точке

А относительно прямой CD, найдем координаты точки D.

Для этого решим систему уравнений:

   

,17116

.24

,64

.024

,064































CDAB

;

;268

26224



































Так как

ABCD 

и М симметрична точке А, то

;









Отсюда

22 

ADM

xxx

;

22 















ADM

yyy

Ответ:















;

Аналогично решаются примеры с номерами №1 – 20.

Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость Р в декартовой системе координат может быть задана

уравнением одного из следующих видов:

0 DCzByAx

- общее уравнение плоскости, где

 

CBAn ;;



нормаль к плоскости.

     

000

 zzCyyBxxA

- уравнение плоскости, если

известна точка

 

0000

,, zyxM

и нормаль

 

CBAn ;;



3. Уравнение плоскости, проходящей через три её точки

 

1111

,, zyxM

 

2222

,, zyxM

 

3333

,, zyxM

131313

121212

111





zzyyxx

;

4. Уравнение плоскости в «отрезках»:

1

;

cba ,,

- величины

отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях

, ,ox oy oz

соответственно).

0coscoscos  pzyx



- нормальное уравнение плоскости,

где



cos,cos,cos

- суть направляющие косинусы нормали, направленной от

начала координат к плоскости, p – расстояние до плоскости от начала

координат.

6. Расстояние от точки

 

0 0 0 0

, ,M x y z

до плоскости

0 DCzByAx

можно найти по формуле:

222

000

CBA

DCzByAx







Если две плоскости

1111

 DzCyBxA

2222

 DzCyBxA

параллельны, то



, а если они

перпендикулярны, то

212121

 CCBBAA

; верно и обратное.

Угол между двумя данными плоскостями:

212121

cos

CBACBA

CCBBAA









Прямая в пространстве может быть задана:

1. Параметрическими уравнениями:













ntzz

mtyy

ltxx

где

Rt 

- параметр,

 

; ;S l m n



направляющий вектор прямой,

 

0000

,, zyxM

- точка лежащая на прямой.

2. Каноническими уравнениями:

000











, где

 

; ;S l m n



- направляющий вектор

прямой,

 

0 0 0 0

, ,M x y z

- точка, лежащая на прямой.

3. Уравнением прямой, проходящей через заданные точки

 

111

,, zyx

 

2 2 2

, ,x y z











4. Общими уравнениями прямой, когда прямая линия определена двумя

плоскостями:









2222

1111

DzCyBxA

Угол между двумя прямыми:

212121

cos

nmlnml

nnmmll









, где

 

1 1 1 1

; ;S l m n



направляющий вектор одной прямой, а

 

2222

;; nmlS



другой прямой.

Условие параллельности и перпендикулярности этих прямых

соответственно:

;



212121

 nnmmll

Расстояние от точки

до прямой, проходящей через точку

имеющей направляющий вектор



, определяется формулой:

ABS







Расстояние между скрещивающимися прямыми

 

AS ,



 

BS ,



определяется формулой:

ABSS







, где

, SS



- направляющие

векторы прямых, А и В – точки на этих прямых.

Пример:

Даны координаты точек

 

1; 1; 2A 

 

1;1;2B

 

3;3;1 C

. Требуется:

1. составить канонические уравнения прямой

;

2. составить уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно прямой

, и найти точку пересечения этой плоскости с

прямой

;

3. найти расстояние от точки

до прямой

Решение.

1. Канонические уравнения прямой

000











, где

 

0 0 0 0

, ,M x y z

- точка, лежащая на прямой, а

 

; ;S l m n



направляющий

вектор прямой.

Так как известны две точки

 

2;1;1 A

 

2; 1; 1B

на искомой прямой,

то за направляющий вектор



можно принять вектор

 

; ; 1; 2; 1 .

B A B A B A

S AB x x y y z z      



Итак

 

1;2;1 S



За точку

можно принять любую из точек

; пусть М

Подставляя в канонические уравнения прямой



, получим

уравнение искомой прямой









 zyx

;

Ответ: канонические уравнения прямой:









 zyx

2. Так как уравнение плоскости, проходящей через точку

 

0000

,, zyxM

и имеющей нормаль

 

CBAn ;;



, имеет вид

     

000

 zzCyyBxxA

, то приняв за

точку

 

3;3;1 C

, а за



вектор

, можно записать искомое уравнение:

     

0313211  zyx

, или

082  zyx

Ответ:

082  zyx