Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
120) а)
;
54
1
2
2
1
xx
x
im
x
б)
;
514
21
3
x
x
im
x
в)
;
2sin
2
2
0
x
x
im
x
г)
.52
2
3
2
x
x
xim
В задачах 121-130 даны функции y=f(x) и значения аргумента x
1
и
x
2.
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или
разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние
пределы в точках разрыва; 3)построить график данной функции
121)
;
1
4
x
x
y
1
1
x
,
3
2
x
.
122)
;
2
4
x
x
y
2
1
x
,
5
2
x
.
123)
;
3
4
x
x
y
3
1
x
,
2
2
x
.
124)
;
4
4
x
x
y
2
1
x
,
4
2
x
.
125)
;
5
4
x
x
y
1
1
x
,
5
2
x
.
126)
;
1
4
x
x
y
1
1
x
,
3
2
x
.
127)
;
2
4
x
x
y
2
1
x
,
2
2
x
.
128)
;
3
4
x
x
y
3
1
x
,
1
2
x
.
129)
;
4
4
x
x
y
4
1
x
,
4
2
x
.
130)
;
5
4
x
x
y
5
1
x
,
5
2
x
.
В задачах 131-140 функция y задана различными аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента x. Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти
91
односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3) сделать
чертеж.
131)
,23
,1
,2
2
x
x
x
y
если
если
если
.2
,21
,1
x
x
x
132)
,23
,4
,2
2
x
x
x
y
если
если
если
.1
,12
,2
x
x
x
133)
,27
,5
,3
2
x
x
x
y
если
если
если
.3
,32
,2
x
x
x
134)
,52
,4
,3
2
x
x
x
y
если
если
если
.3
,31
,1
x
x
x
135)
,6
,
,12
2
x
x
x
y
если
если
если
.2
,21
,1
x
x
x
136)
,
,sin
,2
x
x
x
y
если
если
если
.
,0
,0
x
x
x
137)
,2
,cos
,1
x
x
y
если
если
если
.2/
,2/0
,0
x
x
x
138)
,3
,sin
,2
x
x
y
если
если
если
.
,0
,0
x
x
x
139)
,1
,cos
,
2
x
x
y
если
если
если
.
,0
,0
x
x
x
140)
,2/
,cos
,1
2
x
x
x
y
если
если
если
.2/
,2/0
,0
x
x
x
В задачах 141-160 найти производные
dy
dx
, пользуясь формулами
дифференцирования.
92
141) а)
3
3 4
3 2
x
y
x x
; б)
sin 2 2 3
(3 cos 2 )
x
y x
;
в)
2
ln arcsin 1y x
; г)
2
3
3
2
ln
6
x
y
x x
;
д)
(2 3)
tg x
y x
.
142) а)
3
3
6 9
x
y
x x
; б)
2 4
[2 ln(1 )]
arctg x
y x
;
в)
3
lny tg x
; г)
2
4
3
3 2
ln
2
x
y
x x
;
д)
2
(1 cos)
x
y
.
143) а)
3 2
2
5 3
x
y
x x
; б)
cos3 2 3
(3 sin 3 )
x
y x
;
в)
2 1
2 1
x
y arctg
x
; г)
2
3
3
ln
9
x
y
x x
;
д)
3 sin
( 2)
x
y x
.
144) а)
3 2
3
4 1
x
y
x x
; б)
arcsin 4
(2 arccos )
x
y x
;
в)
ln 1y arctg x
; г)
2
3
3
2 2
ln
3
x
y
x x
;
д)
2
( 1)
arctg x
y x
.
145) а)
3 2
4
5 2
x
y
x x
; б)
2 2 3
(5 )
tg x
y x
;
в)
2
2 1arctg x
y e
; г)
2
4
3
4
ln
12
x
y
x x
;
д)
2
1
(arcsin )
x
y x
.
146) а)
2
4 1
16 2
x
y
x x
; б)
3
(4 )
tg x
y x
;
93
в)
2
arcsin 1 4y x
; г)
2
3
3
3
ln
9
x
y
x x
;
д)
2
( sin )
x
y x x
.
147) а)
2
2 3
4 3
x
y
x x
; б)
2 2 4
(3 ln(1 4 ))
arctg x
y x
;
в)
2
lnsin(2 )
x
y
; г)
2
5
3
4 3
ln
4
x
y
x x
;
д)
2
( 2 )
tg x
y tg x
.
148) а)
2
3 8
3 4
x
y
x x
; б)
2
cos 2 3
(2 sin )
x
y x
;
в)
arcsin 1 x
y e
; г)
2
4
3
5
ln
15
x
y
x x
;
д)
( 1)
arctg x
y x
.
149) а)
3
4
2 5
2
x
y
x x
; б)
arccos2 2 3
(4 1 4 )
x
y x
;
в)
2
ln arcsiny
x
; г)
2
3
1
ln
3
x
y
x x
;
д)
sec
( )
x
y ctg
.
150) а)
3
4
10
8
x
y
x x
; б)
3 4
(6 3 )
arctg x
y arcctg x
;
в)
1
lny tg
x
; г)
2
4
3
10 3
ln
10
x
y
x x
;
д)
1
( ln )
x
y x x
.
151) а)
2
3 2
3 1
x
y
x x
; б)
3 5
(2 sec3 )
tg x
y x
;
в)
2
1
x
y arctg
x
; г)
4
2
2 3
ln
4 6
x
y
x x
;
94
д)
2
1
(1 )
x
y
x
.
152) а)
2
5 2
5 1
x
y
x x
; б)
cos2 2 4
(3 cos )
x
y x
;
в)
4
1arctg x
y e
; г)
2
5 4
ln
8 10
x
y
x x
;
д)
2
(arcsin )
x
y x
.
153) а)
2
2 7
8 14
x
y
x x
; б)
2 3
(5 cos 2 )
ctg x
y ec x
;
в)
1
ln arccosy
x
; г)
2
3
2
4 1
ln
4 1
x
y
x
;
д)
cos2
( 2 )
x
y tg x
.
154) а)
2
3 4
9 6
x
y
x x
; б)
2
sin 3
(5 cos 2 )
x
y x
;
в)
4
ln cos
x
y e
; г)
3
3
3
2
ln
2
x
y
x
;
д)
2 arcsin
(1 )
x
y x
.
155) а)
2
5 4
5 2
x
y
x x
; б)
arcsin 2 5
(2 1 )
x
y x
;
в)
3
2
1arctg x
y e
; г)
2
3
2
3 2
ln
3 2
x
y
x
;
д)
sin 4
( 4 )
x
y ctg x
.
156) а)
3
3
3 1
9 1
x
y
x x
; б)
2 2 4
[3 ln(1 4 )]
arctg x
y x
;
в)
1
ln arccos
2
y
x
; г)
2
2
3 4
ln
3 4
x
y
x
;
д)
2
(sin 2 )
tg x
y x
.
95
157) а)
3 3
2 3
8 4
x
y
x x
; б)
2 5
(4 2 )
tg x
y tg x
;
в)
1
lny arcctg
x
; г)
4
4
4
3
ln
3
x
y
x
;
д)
1
4
( 1)
x
y x
.
158) а)
3
3
2 1
6 1
x
y
x x
; б)
2
2 3
(5 sec )
tg x
y x
;
в)
2
cos 1arc x
y e
; г)
3
3 1
ln
3 1
x
y
x
;
д)
2
(cos 2 )
tg x
y x
.
159) а)
3
3
4 3
3 1
x
y
x x
; б)
arccos 4
(2 1 )
x
y x
;
в)
2
ln
x
y tge
; г)
2
4
2
2 3
ln
2 3
x
y
x
;
д)
1
( )
x
y x
x
.
160) а)
3
3
5 6
5 2
x
y
x x
; б)
2
sin
( )
x
y ctgx
;
в)
4 1arcctg x
y e
; г)
2
3
2
2 1
ln
2 1
x
y
x
;
д)
1
( )
x
y x
x
.
В задачах 161-180 найти
dy
dx
и
2
2
d y
dx
.
161)
2 2
2 0x y y
.
162)
sin 0x arctgy
.
163)
3
0
x
e x y
.
164)
ln 3 2 0x x y
.
96
165)
ln 4 1 0ctgx y
.
166)
2
0
x y
e x e
.
167)
2
2 sin 2 0x x y
.
168)
ln 2 3 0arctgx y
.
169)
4 5 2 0tgx y
.
170)
ln 1 0
y
x x e
.
171)
2 3
ln ,
3 2 .
x t t
y t t
172)
,
sec .
x atgt
y b t
173)
3
arcsin ,
3 .
x t
y t t
174)
2
,
sec .
x ctgt
y t
175)
3
2 sin 2 ,
8sin .
x t t
y t
176)
( sin ),
(1 cos ).
x a t t
y a t
177)
2
3 ,
ln(1 9 ).
x arctg t
y t
178)
2
3
cos ,
sin .
x a t
y b t
179)
(sin cos ),
(cos sin ).
x a t t t
y a t t t
В задачах 181-190 дана функция у=f(x) и значения аргументов х
1
и х
2
.Найти
приближенное значение данной функции при х= х
2
, исходя из ее точного
значения при х= х
1
и заменяя приращение функции
у соответствующим
дифференциалом dy.
97
181)
3 2
3 8 16y x x
, х
1
=4, x
2
=3,94.
182)
2
5 4 1y x x
, х
1
=5, x
2
=5,08.
183)
5 2
4 1y x x
, х
1
=6, x
2
=5,84.
184)
3
4
6 7y x x
, х
1
=4, x
2
=4,06.
185)
3 2
2 2 13y x x
, х
1
=-8, x
2
=-7,85.
186)
2
3 5 2y x x
, х
1
=9, x
2
=9,08.
187)
4
4
5 6 5y x x
, х
1
=2, x
2
=1,92.
188)
2
3 6 5y x x
, х
1
=7, x
2
=7,05.
189)
3 3
6 9y x x
, х
1
=-4, x
2
=-4,03.
190)
2
4
8 6 9y x x
, х
1
=3, x
2
=2,88.
В задачах 191-200 найти приближенное значение указанных величин с
помощью дифференциалов соответствующих функций.
191) cos 63
192) tg 46
193) sin 32
194) ctg 43
195) sin 27
196) cos 59
197) tg 43
198) sin 33
199) cos 57
200) ctg 47
В задачах 201-220 даны уравнение параболы и точки С (x
1,
y
1
), которая
является центром окружности. Радиус окружности R=5. Требуется: 1)
найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение
касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью;
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения.
201)
2
1
1, 0; 0
4
y x С
.
98
202)
2
1
2, 0; 3
3
y x С
.
203)
2
1
2, 0; 1
4
y x С
.
204)
2
1
3 , 0; 1
2
y x С
.
205)
2
1
2, 0; 1
3
y x С
.
206)
2
1
3 , 0; 2
6
y x С
.
207)
2
1
1, 0; 2
4
y x С
.
208)
2
1
1 , 0; 1
2
y x С
.
209)
2
1
3 , 0; 3
6
y x С
.
210)
2
1
3, 0; 2
8
y x С
.
211)
2
1
3 , 0; 2
4
y x C
.
212)
2
1
1 , 0; 2
3
y x C
213)
2
1
1 , 0; 0
2
y x С
214)
2
1
3 , 0; 3
6
y x С
.
215)
2
1
4 , 0; 5
8
y x C
.
216)
2
1
2 , 0; 3
3
y x C
.
217)
2
1
2 , 0; 1
4
y x C
.
99
218)
2
1
3 , 0; 1
2
y x С
.
219)
2
1
3 , 0; 4
8
y x C
.
220)
2
1
6 , 0; 5
4
y x C
.
Полное исследование функций и построение их графиков
(задачи №№221-240)
221.
.32
3
2
xxy
222.
).2ln( xxy
223.
.
2
4
2
x
xy
224.
.
)1(3
4
2
3
x
x
y
225.
x
e
y
x 1
. 226.
.
)2(
8
2
x
x
y
227.
.
)1(2
2
x
x
y
228.
).22ln(
2
xxy
229.
.ln2 xxy
230.
.
)1(2
2
3
x
x
y
231.
.
)3(3
2
3
x
x
y
232.
2
2
2( 1)
.
x
y
x
233.
.
x
e
y
x
234.
.
ln3
x
x
y
235.
2
2
4
x
xey
. 236.
.
)3(9
4
2
3
x
x
y
237.
x
xey
4
. 238.
.
2
2
2
x
x
y
239.
).54ln(
2
xxy
240.
.
12
2
2
x
x
y
В задачах 241-260 найти наибольшее и наименьшее значения функции у=f(x)
на заданном отрезке.
100