Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
F
2
F
1
x
y
-b
b
a
-a
F`
2
F`
1
F`
2
Если фокусы расположены в точках
1 2
(0; ), (0; ),F c F c
то
уравнение гиперболы будет иметь вид
1
2
2
2
2
a
x
b
y
(на графике эта
гипербола изображена пунктиром).
Гипербола имеет две асимптоты с уравнениями
х
a
b
yиx
a
b
y
.
Число
a
c
называется эксцентриситетом гиперболы. > 1, т. к. c >
a.
Пример: Даны координаты точек А (3; 4), В (5; -4
5
).
Требуется:
1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные
точки А и В, если фокусы гиперболы лежат на оси абсцисс;
2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнение асимптот этой
гиперболы;
3) найти все точки пересечения гиперболы окружностью с центром в
начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;
4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.
Решение.
1) Уравнение гиперболы имеет вид
1
2
2
2
2
b
y
a
x
. Точки А и В лежат на
гиперболе, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению
гиперболы. Получаем систему уравнений для определения a
2
и b
2
:
41
.1
8025
,1
169
22
22
ba
ba
Обозначим
v
b
u
a
22
1
,
1
, получим систему:
.18025
,1169
vu
vu
Умножим 1-е уравнение на –5 и сложим со 2-ым:
5
5
11
5
1
420
2
2
a
a
uu
;
Подставим
5
1
u
во второе уравнение:
20
20
11
20
1
4801805
2
2
b
b
vvv
.
Искомое уравнение
1
205
22
yx
.
2) Полуоси:
.5220
,5
b
a
Фокусы: c
2
= a
2
+ b
2
= 5 + 20 = 25
c = 5;
),0;5(),0;5(
21
FF
Эксцентриситет:
;5
5
5
a
c
Уравнения асимптот:
;2
5
52
,
xyилиxy
x
a
b
y
3) Уравнения окружности с центром в начале координат имеет вид: x
2
+
+y
2
= R
2
, где R – радиус окружности. В нашем случае R = c= 5.
Имеем: x
2
+ y
2
= 25.
Для определения точек пересечения окружности с гиперболой решим
систему:
.204
,25
.1
205
,25
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
Сложим уравнения. Получим:
42
5x
2
= 45
x
2
= 9
x =
3
.
Подставим, найдем значения
x
в первое уравнение, получим y
2
= 16
x =
4
.
4) Искомые точки пересечения таковы: M
1
(– 3; – 4), M
2
(3; – 4), M
3
(3; 4),
M
4
(–3; 4).
2
43
3. Парабола.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой,
называемой директрисой.
Пусть p – расстояние между фокусом и директрисой. Если фокус
расположен в точке
)0;
2
(
p
F
, а директриса имеет уравнение
,
2
p
x
то каноническое уравнение параболы: y
2
=2px.
График:
Каноническое уравнение y
2
=-2px изображает параболу с фокусом F(-c;0)
и директрисой y=p/2. Её ветви направлены влево.
Если фокус:
)
2
;0(
p
F
, а директриса:
2
p
y
, то парабола
направлена ветвями вверх и имеет уравнение x
2
= 2py. Каноническое
уравнение x
2
=-2py изображает параболу с фокусом F(0;-p/2) и директрисой y
= p/2. Её ветви направлены вниз. Во всех рассмотренных случаях парабола
44
проходит через начало координат и имеет осью симметрии одну из
координатних осей.
Пример: Составить уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от данной точки А (-2; 1) и данной прямой y = -2.
Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
Решение. Если точка M (x; y) лежит на параболе, то r = d.
22
)1()2( yxr
, d
2 y
так как. r = d, то
2)1()2(
22
yyx
,
222
)2()1()2( yyx
,
1244)2(
222
yyyyx
,
36)2(
2
yx
=>
)
2
1
(6)2(
2
yx
,
Обозначим:
.
2
1
,2
yY
xX
получим X
2
= 6Y.
X = 0 при x = -2; Y = 0 при
,
2
1
y
т. е. в новой системе координат
уравнение параболы упрощается: X
2
= 6Y, где 2р= 6,
3
2 2
p
. В новой
системе координат строим параболу по её каноническому уравнению.
45
46
V. Введение в математический анализ
(№№ 101-140)
1. Предел последовательности.
Определение 1. Последовательностью называется функция
натурального аргумента, т.е.
n
xnf
.
Определение 2. Число а называется пределом последовательности
n
x
(обозначается так:
n
im x a
n
), если для любого положительного
числа
найдется число
0)(
NN
такое, что при
Nn
выполняется
неравенство
ax
n
.
В этом определении существенно, что число
0
может быть взято
произвольно малым.
Пример: Доказать, что
5 10 1
10 3 2
n
n
im
n
.
(указать
N
).
Решение.
Если число
2
1
является пределом последовательности, то задача
сводится к тому, чтобы найти
Nn
из неравенства
2
1
310
105
n
n
.
Решим неравенство
;
3102
3101052
n
nn
;
3102
23
n
т.к.
n
- натуральное число, то при любых
0310 nn
,
следовательно,
,310310 nn
;
3102
23
n
;
1
23
3102
n
;
10
1
3
2
23
;
2
23
310
n
n
.
20
623
;3
2
23
10
n
n
47
Если взять, например,
1,0
, то будем иметь:
8,11
2
6,23
2
6,023
n
.
Т.е.
12
N
.
Определение 3. Говорят, что последовательность
n
x
бесконечно
большая (стремится к бесконечности), если для любого числа
0E
найдется такое число
N N E
, что при
Nn
выполняется неравенство
Ex
n
(обозначение:
n
n
xim
). Здесь существенно, что число
0E
может быть взято сколь угодно большим.
Определение 4. Последовательность
n
x
называется ограниченной
сверху, если найдется конечное число
b
такое, что
bx
n
для всех
,...3,2,1n
Определение 5. Последовательность
n
x
называется ограниченной
снизу, если найдется конечное число
a
такое, что
ax
n
для всех
,...3,2,1n
Определение 6. Последовательность
n
x
называется ограниченной,
если она ограничена сверху и снизу.
2. Предел функции
Определение 7. Число А называется пределом функции
)(xfy
при
ax
(обозначение:
Axf
ax
lim
), если для любого
0
найдется такое
0
, что неравенство
Axf
выполняется для всех
x
, отличных
от
a
и удовлетворяющих неравенству
ax
.
Определение 8. Функция
x
называется бесконечно малой при
ax
, если
0lim
x
ax
.
Определение 9. Две бесконечно малые
x
и
x
(при
ax
)
называются эквивалентными при
ax
, если
1
lim
x
x
ax
(обозначение:
x
~
x
) .
Определение 10. Функция
xf
стремится к бесконечности при
ax
,
т.е. является бесконечно большой величиной при
ax
, если для каждого
48
положительного числа
M
, как бы велико оно ни было, можно найти такое
0
, что для всех значений
x
, отличных от
a
, удовлетворяющих
условию
ax
, имеет место неравенство
f x M
xf
ax
lim
.
Отметим некоторые простые свойства. Величина, обратная бесконечно
большой, является бесконечно малой, а величина, обратная бесконечно
малой, является бесконечно большой. Условно это записывают так:
1 1
0;
0
.
3. Методы вычисления пределов.
Теоретической основой для отыскания пределов служат следующие
теоремы:
I. Теорема о трех переменных. Если для последовательностей
nnn
zyx ,,
при любом
n
выполняются неравенства
nnn
zyx
,
причем последовательности
n
x
и
n
z
стремятся к общему пределу:
,limlim azx
n
x
n
x
то последовательность
n
y
имеет тот же
предел:
ay
n
n
lim
.
II. Теорема об арифметических свойствах предела. Если
последовательности
n
x
и
n
y
имеют конечные пределы
,limlim byx
n
n
n
n
то сумма (разность) и произведение этих
последовательностей также имеют конечные пределы, причем
,)(
lim
bay
x
n
n
n
abyx
nn
n
lim
.
49
Если последовательности
n
x
и
n
y
имеют конечные пределы
n
n
x aim
,
n
n
y b
im
, причем
0b
, то и отношение их также имеет конечный
предел, а именно
n
n
n
x
a
im
y b
.
III. Использование свойства непрерывности элементарных функций.
Определение 11. Функция
xf
называется непрерывной в точке
0
x
,
если точка
0
x
принадлежит области определения функции
xf
и
0
lim
0
xfxf
xx
.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области
определения, т.е. при
0
x
из области определения функции справедливы
равенства
0
0
sin sin
x x
x xim
,
0
0
cos cos
x x
x x
im
,
0
0
log log
a a
x x
x xim
и
др.
IV. Теорема о непрерывности сложной функции.
Если функция
t
непрерывна в точке
0
t
, а функция
xf
непрерывна в точке
00
tx
, то сложная функция
xf
непрерывна в
точке
0
t
,т.е.
0
0
0
t t
t t
f t f t f t
im
im
.
V. Теорема о пределе степенно – показательной функции. Если
0
x x
U x a
im
,
0
x x
V x b
im
, то
0
V x
b
x x
U x a
im
.
При вычислении пределов часто встречаются случаи, когда указанные
теоремы прямо применить нельзя. Такие случаи, в частности, имеют место,
если выражение, предел которого нужно найти, представляется в виде:
50