Владыкина Н.Д., Ермаков А.И., Курчанова С.С., Хмеленко Г.И. Методич. указания по курсу высшей математики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пусть функция
xfy
определена в точке
x
и в некоторой её
окрестности. Производной от этой функции в точке
x
будет
x
y
im
x
xfxxf
im
xx
00
.
Производную обозначают одним из символов:
,'y
,'
x
y
,
dx
dy
xf '
,
,'
x
f
dx
xdf
.
Операция отыскания производной называется дифференцированием
функции; функция, имеющая конечную производную в данной точке,
называется дифференцируемой в этой точке.
Основные правила дифференцирования:
1.
constcc ,0'
;
2.
'
'cu cu
;
3.
'
' 'u v u v
;
4.
'
' 'uv u v v u
;
5.
2
'
' 'u u v v u
v v
;
6.
'
' '
x
f u x f u u x
.
Здесь
uf
,
xu
и
xv
- дифференцируемые функции,
xuf
-
сложная функция окончательного аргумента
x
;
u
-промежуточный
аргумент.
Основные формулы дифференцирования:
1.
1
' 'u u u
R
;
2.
'
'
2
u
u
u
;
61
3.
2
'
'c u
c
u u
;
4.
'
'
u u
a a na u
;
5.
'
'
u u
e e u
;
6.
'
'
a
u
og u
u na
;
7.
'
sin cos 'u u u
;
8.
'
cos sin 'u u u
;
9.
2
'
'
cos
u
tgu
u
;
10.
2
'
'
sin
u
ctgu
u
;
11.
2
'
'
arcsin
1
u
u
u
;
12.
2
'
'
arccos
1
u
u
u
;
13.
2
'
'
1
u
arctgu
u
;
14.
2
'
'
1
u
arcctgu
u
;
15.
'
'chu shu u
;
2
uu
ee
chu
;
16.
'
'shu chu u
;
2
uu
ee
shu
;
17.
2
1
'
'thu u
ch u
;
chu
shu
thu
;
18.
2
1
'
'cthu u
sh u
;
shu
chu
cthu
.
Рекомендации к выполнению задания №№141 – 160.
62
Найти производную
dx
dy
следующих функций, пользуясь формулами
дифференцирования.
1.
xx
xx
y
8
532
4
23
.
Используется формула производной частного:
2
'
' 'u u v v u
v v
.
При дифференцировании знаменателя используется формула:
'
'
2
u
u
u
.
3 2 4 4 3 2
2
4
'
'
2 3 5 8 8 2 3 5
' ;
8
x x x x x x x x
y
x x
4
2 4 3 2
4
4
3
2 4 3 2
4
4
'
8
2 3 3 2 8 2 3 5
2 8
'
8
4 8
6 6 8 2 3 5
2 8
8
x x
x x x x x x
x x
y
x x
x
x x x x x x
x x
x x
3
2 4 3 2
4
4
2 4
6 6 8 2 3 5
8
8
x
x x x x x x
x x
x
2
2 4 3 3 2
4 4
2 4 3 3 2
4 4
6 3 5 2 6 5 3 3 2
4 4
6 6 8 2 4 2 3 5
8 8
6 6 8 2 4 2 3 5
8 8
6 48 6 48 4 6 10 8 12 20
;
8 8
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x
63
Приведя подобные члены в числителе, получим:
6 3 2
4 4
2 30 36 20
' .
8 8
x x x
y
x x
2.
4
.
tg x
y e x
Имеем сложную функцию вида
4
uy
. Поэтому
3
' 4 'y u u
.
3 3
3 3
2
'
'
'
' 4 4
1 1
'
4 4
2
tg x tg x tg x tg x
tg x tg x tg x
y e x e x e x e tg x x
e x e x e x
cos x x
3
2 2
3
2
2
1 1 1 1 1
4 1
2 2 2
2 1
.
tg x tg x tg x
tg x tg x
e e x e
cos x x x x cos x
e x e cos x
x cos x
3
2
2
2
'
tg x tg x
y e x e cos x
x cos x
.
3.
1
2
3
xarctg
y
.
Имеем сложную функцию вида
u
ay
. Согласно таблице
производных,
' '
u
y a na u
.
2 2 2
2 2
2
2
1 1 2 1
2
2
1 1
2
2 2
2
1
2 2 2
1
2
'
' 3 3 ln 3 1 3 ln 3
'
'
1
1
3 ln 3 3
1 1 2 1
1 1
2 3 ln 3
ln 3 .
2 1 1
3 ln 3
' .
1
arctg x arctg x arctg x
arctg x arctg x
arctg x
arctg x
y arctg x
x
x
x x
x
x
x x x x
y
x x
4.
2
8
3
10 3
ln .
15
x
y
x x
64
Прежде, чем дифференцировать функцию, рекомендуется преобразовать
её, пользуясь свойствами логарифмов.
1
2 2
8
2 3
3 3
10 3 1 10 3 1
ln ln ln 10 3 ln 15 ;
15 8 15 8
x x
y x x x
x x x x
При дифференцировании функции
2 3
1
ln 10 3 ln 15
8
y x x x
используются формулы:
'
' ' ', ' .
u
u v u v nu
u
2 3
2
2 3 2 2
2
2 2
' '
10 3 15
1 1 6 3 15
'
8 10 3 15 8 10 3 3 15
1 6 3 15
.
8 10 3 3 15
x x x
x x
y
x x x x x x
x x
x x x
Приведя дробь к общему знаменателю, получим:
3 2 2
2 3
4 2 2 4 2 4 2
2 3 2 3
4 2
2 3
6 15 10 3 3 15
1
'
8
10 3 15
1 6 90 30 9 150 45 1 3 15 150
8 8
10 3 15 10 3 15
1 3 15 150
.
8
10 3 15
x x x x x
y
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x
4 2
2 3
1 3 15 150
'
8
10 3 15
x x
y
x x x
.
5.
3 6
2
x
y x x
.
Прологарифмируем обе части данного равенства:
3 6
2 2
ln ln 3 6 ln
x
y x x x x x
.
Продифференцировав обе части полученного соотношения по
x
,
поскольку
xyy
, то
65
2 2
2
2
2
2
2
2
2
'
' '
3 6 ln 3 6 ln ,
'
'
3 6
'
ln 3 6 ,
2 6
'
3 6
' 2 1
ln 3 6 ,
2 6
3ln
3 2 1 6
' .
2 6
y
x x x x x x
y
x x
x
y
x x x
y x x
x
x
y x
x x x
y x x
x
x x
x x
y y
x x
x
Подставим вместо
y
ее значение получим:
2
3 6
2
2
3ln
3 2 1 6
' .
2 6
x
x x
x x
y x x
x x
x
Производные от функций вида
xg
xfy
можно находить,
использовав основное логарифмическое тождество
u
nu
., т.е.
g x
g x
n f x g x n f x
y f x e e
и затем находим производную по
формуле
' '
u u
e e u
Пример:
Найти производную функции
4
4 .
tg x
y sin x
Решение:
На основании основного логарифмического тождества
4 4
' .
tg x n sin x
y e
Тогда:
4 4
' 4 ln 4 '
tg x n sin x
y e tg x sin x
4 4
4 4
2
' '
4 ln 4 4 ln 4
' '
4 4
ln 4 4
4 4
tg x n sin x
tg x n sin x
e tg x sin x tg x sin x
x sin x
e sin x tg x
cos x sin x
4 ln 4
2
4ln 4
4 4
4
4 4
tg x sin x
sin x
cos x
e tg x
cos x sin x
66
4 4 4 4
2
4 4
2 2
2
4
2
4ln 4
4 4 4 4
4
ln 4 ln 4
4 4 4 4 1
4 4
ln 4 4
4 4 ;
4
tg x n sin x tg x n sin x
tg x n sin x
tg x
sin x
e tg x ctg x e
cos x
sin x sin x
tg x ctg x e
cos x cos x
sin x cos x
sin x
cos x
2
4
2
ln 4 4
' 4 4
4
tg x
sin x cos x
y sin x
cos x
.
Рекомендации к выполнению задания в №№ 161 – 180.
В данных задачах необходимо найти
'
dy
y
dx
и
2
2
''
d y
y
dx
от функций,
заданных неявно или параметрически.
Чтобы продифференцировать функцию, неявно заданную выражением
0, yxF
, необходимо это выражение продифференцировать по
x
,
считая
y
функцией от
x
и из полученного выражения найти
`y
.
Пример:
Найти
'y
и
''y
от функции
0 arctgyxy
, заданной неявно.
Решение:
На основании правила дифференцирования сложной функции имеем:
2
'
' 1 0
1
y
y
y
.
Отсюда
2
1
' 1 1
1
y
y
,
2
2
1 1
' 1
1
y
y
y
,
2
2
' 1
1
y
y
y
,
2
2
1
'
y
y
y
, или
2
1
' 1y
y
.
Найдем
''y
:
2
1
'' 1y
y
.
4 3
2 ' 2 '
''
y y y
y
y y
.
67
Подставляя вместо
'y
его значение, получим:
2
3
1
2 1
''
y
y
y
,
преобразуя, имеем:
2
5
2 1
''
y
y
y
.
Если функция задана параметрическими уравнениями
tyy
txx
,
то ее производная
'
'
'
y t
dy
y
dx x t
.
Вторая ее производная
2
2
''
d y
y
dx
находится по формуле:
2
2
'
d dy
d y
dt dx
dx x t
.
Пример:
Найти
'
dy
y
dx
и
2
2
''
d y
y
dx
от функции, заданной параметрически
2
,
ln 1 .
x arctgt
y t
Решение:
'
2
1
' .
1
t
x t arctg
t
2
2
2 '
2 2
2
2
'
1
'
'
2
1
' 1 , 2 .
1
1 1 '
1
x
t
t
t
y t
t dy
t
y t n t y t
t t dx x t
t
Найдем
2
2
2
2
1 1
'
2 2 2 1 .
1
' '
1
t
d dy
d y
dt dx
t t
dx x t x t
t
68
'
2 .
x
dy
y t
dx
,
2 .
x arctg t
dy
t
dx
Ответ:
,
2 .
x arctgt
dy
t
dx
2
2
2
,
2 1 .
x arctgt
d y
t
dx
Рекомендации к выполнению задания №№ 181 – 200.
Если функция
xf
дифференцируема в точке
x
, т.е. имеет в этой
точке конечную производную
'y
, то
'
y
y
x
, где
0
при
0x
.
Отсюда
'y y x x
.
Главная часть приращения
y
, линейная относительно
x
,
называется дифференциалом и обозначается
dy
:
'dy y x
, или
'dy y dx
.
Справедлива формула
dyy
, или
'f x x f x f x x
,
которая применяется в приближенных вычислениях.
Пример:
Дана функция
3
2
952 xxxf
и значение аргумента
2
1
x
,
91,1
2
x
.
Найти приближенное значение данной функции при
2
xx
, исходя из
ее точного значения при
1
xx
, и заменяя при ранними функции
y
соответствующим дифференциалом
dy
.
Решение:
3
2
952 xxxf
.
Тогда:
69
2
2 2
2 2
3 3
1 1
'
' 2 5 9 4 5
3 2 5 9 3 2 5 9
f x x x x
x x x x
2
2
3
4 5
.
3 2 5 9
x
x x
Имеем:
2
1
x
,
2
1,91x
. Отсюда
2 1
1,91 2 0, 09x x x
Находим
327910892522)2(
33
3 2
f
,
2
2
3
3
2 2 2
3
4 2 5 13 13 13 13
'(2)
3 3 27
3( 27)
3 (2 2 5 2 9) 3 27
f
Подставим найденные величины в формулу приближенного равенства:
xxfxfxxf )(')()(
, имеем
(1,91) (2) '(2) ( 0,09)f f f
или
13 13 9 0,13 8,87
(1,91) 3 ( 0,09) 3 ( 0,01)
27 3 3 3
f
2,957
Итак, значение функции
3
2
952)( xxxf
при х
2
= 1,91
приближенно равно 2,957.
Пример 2.
Найти приближенное значение
28sin
с помощью дифференциала
соответствующей функции.
Решение:
Пусть
,sin)( xxf
тогда
'( ) cosf x x
. Обозначим:
30x
.
28xx
, отсюда
2x
. Учитывая, что
180
1
радиан т.е.
01745,01
рад., имеем:
0349,0x
.
Находим:
1
(30 ) sin 30 0,5,
2
f
3
'(30 ) cos30 0,866.
2
f
Подставляя найденные значения в формулу:
xxfxfxxf )(')()(
,
получим:
4698,0)0349,0(866,05,028sin
Итак,
4698,028sin
.
70